北京科技大学附中2013版高考数学二轮复习冲刺训练提升：导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题为真命题的是( )
A．在处存在极限，则在连续
B．在处无定义，则在无极限
C．在处连续，则在存在极限
D．在处连续，则在可导
【答案】C
2．设函数的图象与轴相交于点P, 则曲线在点P的切线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
3．若，则等于( )
A．－1 B．－2 C．－ D．
【答案】C
4．给出下列四个结论：
①；
②命题“的否定是“”；
③“若 则”的逆命题为真；
④集合，则“”是“”成立的充要条件.
则其中正确结论的序号为 ( )
A．①③ B．①② C．②③④ D．①②④
【答案】B
5．若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
6．如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
7．曲线y＝sinx与直线y＝x所围成的平面图形的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】C
8．已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为( )
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
9．用边长为6分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转，再焊接而成（如图）。设水箱底面边长为分米，则( )
A．水箱容积最大为立方分米
B．水箱容积最大为立方分米
C．当在时，水箱容积随增大而增大
D．当在时，水箱容积随增大而减小
【答案】C
10．由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
11．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C
12．函数导数是( )
A．． B．
C． D．
【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知，则＝
【答案】
14．若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
15．= ；
【答案】
16．如图是一个质点做直线运动的图象，则质点在前内的位移为 m
【答案】9
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知函数
(Ⅰ）求曲线y=f(x)在（1,11）处的切线方程；
(Ⅱ）求函数的单调区间。
【答案】 (Ⅰ)因为，所以切线的斜率为
所以切线方程y-1=12(x-1)即 12x-y-11=0
(Ⅱ)令得所以函数f(x)的单调增区间为（-1,3）
令得x<-1或x>3所以函数f(x)的单调减区间为。
18．已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;
⑴求a的值;
⑵是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有2个交点,若存在,求出实数b的值;若不存在,试说明理由
【答案】⑴∵f(x)在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,
∴f’(1)=0,f’(1)=4x3-12x2+2ax|x=1=2a-8=0,∴a=4;
⑵由⑴知f(x)=x4-4x3+4x2-1,由f(x)=g (x)可得x4-4x3+4x2-1=bx2-1
即x2(x2-4x+4-b)=0.
∵f(x)的图象与g(x)的图象只有两个交点,
∴方程x2-4x+4-b=0有两个非零等根或有一根为0,另一个不为0,
∴Δ=16-4(4-b)=0,或4 – b = 0,∴b = 0或b =4．
19．已知函数
(Ⅰ）求的值；
(Ⅱ）若曲线过原点的切线与函数的图像有两个交点，试求b的取值范围.
【答案】 (Ⅰ) ，又函数有极大值
，得
在上递增，在上递减
，得
(Ⅱ）设切点，则切线斜率
所以切线方程为
将原点坐标代入得，所以
切线方程为
由得
设
则令，得
所以在上递增，在上递减
所以
若有两个解，则
得
20．已知函数f(x)＝plnx＋(p－1)x2＋1．
(I）讨论函数f(x)的单调性；
(II）当p＝1时，f(x)≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
(III）证明：ln(n＋1)<1＋＋＋…＋(n∈N*)．
【答案】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2(p－1)x＝．当p>1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当p≤0时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1＜p＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈时，f′(x)＞0；x∈时，f′(x)＜0．故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)因为x>0，所以当p＝1时，f(x)≤kx恒成立⇔1＋lnx≤kx⇔k≥，令h(x)＝，则k≥h(x)max，因为h′(x)＝，由h′(x)＝0得x＝1，且当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0．所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减．所以h(x)max＝h(1)＝1，故k≥1．
(3)由(2)知当k＝1时，有f(x)≤x，当k>1时，f(x)
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