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喀什第六中学2021-2022学年度第一学期期中考试
高三数学试卷
2021年11月
一、 单项选择题:本题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={﹣2,﹣1,0,1},N={x∈R|x(x﹣2)≤0},则M∩N=( )
A.{﹣1,0,1} B.{0,1}
C.{﹣2,﹣1,0,1} D.{﹣2,﹣1,0}
2.已知,,则“”的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数是R上的偶函数.若对于都有,且当时,,则的值为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
4.设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则a1=( )
A. B. C. D.
6.如图,在正方体中,是棱上的动点.下列说法正确的是( )
A.对任意动点,在平面内不存在与平面平行的直线
B.当点从运动到的过程中,二面角的大小不变
C.对任意动点,在平面ABCD内存在与平面垂直的直线
D.当点从运动到的过程中,点到平面的距离逐渐变大
7.已知为坐标原点,点的坐标为,点的坐标满足,则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=( )
A.4 B.8 C.2 D.1
9.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数”:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,也称取整函数,例如:,.已知,则函数的值域为( )
A. B., C.,, D.,0,
10.对,取第1象限的点,使,,,,成等差数列,而,,,,,成等比数列.则各点、、、与射线的关系为( ).
A.各点均在射线的上方 B.各点均在射线上
C.各点均在射线的下方 D.不能确定
11.正四面体内放入一个可以自动充气的球,当球和四面体的面相切时,球的半径与该正四面体的高的比值为( )
A. B. C. D.
12.已知△的内角所对的边分别为若,且△内切圆面积为,则△面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(共20分)
13.已知,,则的最大值为___________.
14.已知,分别为圆:与:的直径,则的取值范围为________.
15.已知,,是三个不同的平面,a,b两条不同的直线,下列命题中正确的是___________.
①若,,则
②若,,则
③若,,则
④若,,则
16.已知数列的前n项和为,则______.
三、解答题(共70分)
17.已知函数,.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(2)求函数在上的取值范围.
18.已知正项数列的前n项和为,且,,,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列前n项积为,证明:,.
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
20.已知各项均为正数的数列满足:,且
(1)设,求数列的通项公式
(2)设,求,并确定最小正整数,使得为整数.
21.已知函数.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围.
22.已知函数,.
(1)当时,
①求的极值;
②若对任意的都有,,求的最大值;
(2)若函数有且只有两个不同的零点,,求证:.
参考答案
1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.B 9.B 10.C 11.C 12.D
13.
14.
15.④
16.
17.
(1)
解:因为,
所以最小正周期是,
因为,所以,,
所以函数的递增区间是,;
(2)
解:因为,
所以,所以,
所以.
18.
(1)
当时,,
∵,
∴,即,
∵数列各项为正,
∴,即,则数列为首项,公差的等差数列,
∴,即,
∴当时,,经检验成立,
∴.
(2)
∵,数列前n项积为
∴
∵,
∴,
∴.
19.
证明 (1)∵平面PAD⊥底面ABCD,
且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA⊂平面PAD,
∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,∴AB∥DE,且AB=DE.
∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD,而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD,AD⊥CD,
由(1)知PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD,且PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点,∴PD∥EF.∴CD⊥EF,又BE⊥CD且EF∩BE=E,
∴CD⊥平面BEF,又CD⊂平面PCD,
∴平面BEF⊥平面PCD.
20.
(1)
是公比为2的等比数列,
,
(2)
若为整数,因为 ,即
能被整除
所以可得时,能被整除
的最小值是
21.
(1)由,得到.
因此f(x)在上的增区间为,k∈Z且,解得.
(2)因为|f(x)-m|<2在上恒成立,所以.
又,其中,所以,故.
22.(1)①时,,则,
令,解得:,令,解得:,
∴在递减,在,递增,故的极小值是,没有极大值;
②对任意都有,即恒成立,
由,有,故,
由①知,在,单调递增,故,可得,即,
当时,的最小值是,故的最大值是;
(2)证明:要证,只需证明即可,
由题意,、是方程的两个不相等的实数根,又,
∴,消去,整理得:,
不妨设,令,则,故只需证明当时,,即证明,
设,则,
∴在单调递增,从而,
故,即得证.
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