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喀什第六中学2021-2022学年度第一学期期中考试
高三数学试卷
2021年11月
一、 单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x∈R|x（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1}
C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}
2．已知，，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，是棱上的动点.下列说法正确的是（ ）
A．对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线
B．当点从运动到的过程中，二面角的大小不变
C．对任意动点，在平面ABCD内存在与平面垂直的直线
D．当点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变大
7．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（ ）
A． B．， C．，， D．，0，
10．对，取第1象限的点，使，，，，成等差数列，而，，，，，成等比数列.则各点、、、与射线的关系为（ ）.
A．各点均在射线的上方 B．各点均在射线上
C．各点均在射线的下方 D．不能确定
11．正四面体内放入一个可以自动充气的球，当球和四面体的面相切时，球的半径与该正四面体的高的比值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共20分)
13．已知，，则的最大值为___________．
14．已知，分别为圆：与：的直径，则的取值范围为________．
15．已知，，是三个不同的平面，a，b两条不同的直线，下列命题中正确的是___________.
①若，，则
②若，，则
③若，，则
④若，，则
16．已知数列的前n项和为，则______．
三、解答题(共70分)
17．已知函数，．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数在上的取值范围．
18．已知正项数列的前n项和为，且，，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列前n项积为，证明：，．
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面BEF⊥平面PCD.
20．已知各项均为正数的数列满足：，且
（1）设，求数列的通项公式
（2）设，求，并确定最小正整数，使得为整数．
21．已知函数.
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
22．已知函数，．
（1）当时，
①求的极值；
②若对任意的都有，，求的最大值；
（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．
参考答案
1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．B 8．B 9．B 10．C 11．C 12．D
13．
14．
15．④
16．
17．
（1）
解：因为，
所以最小正周期是，
因为，所以，，
所以函数的递增区间是，；
（2）
解：因为，
所以，所以，
所以．
18．
（1）
当时，，
∵，
∴，即，
∵数列各项为正，
∴，即，则数列为首项，公差的等差数列，
∴，即，
∴当时，，经检验成立，
∴．
（2）
∵，数列前n项积为
∴
∵，
∴，
∴．
19．
证明 （1）∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
（2）∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.
（3）∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由（1）知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
20．
（1）
是公比为2的等比数列，
，
（2）
若为整数，因为 ，即
能被整除
所以可得时，能被整除
的最小值是
21．
（1）由，得到.
因此f(x)在上的增区间为，k∈Z且，解得.
（2）因为|f(x)-m|<2在上恒成立，所以.
又，其中，所以，故.
22．（1）①时，，则，
令，解得：，令，解得：，
∴在递减，在,递增，故的极小值是，没有极大值；
②对任意都有，即恒成立，
由，有，故，
由①知，在,单调递增，故，可得，即，
当时，的最小值是，故的最大值是；
（2）证明：要证，只需证明即可，
由题意，、是方程的两个不相等的实数根，又，
∴，消去，整理得：，
不妨设，令，则，故只需证明当时，，即证明，
设，则，
∴在单调递增，从而，
故，即得证．
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