第十章 级数

第十章 级数第十章 级数第一节第一节 数项级数数项级数第二节第二节 正项级数和一般项级数正项级数和一般项级数第三节第三节 函数项级数和幂级数函数项级数和幂级数 第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数第十章 级数第一节第一节 数数 项项 级级 数数一、一、级数的敛散性级数的敛散性第十章 级数第十章 级数第十章 级数二、二、级数收敛的性质级数收敛的性质第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第二节第二节 正项级数和一般项级数正项级数和一般项级数一、一、正项级数正项级数若数项级数各项的符号都相同,则称为同号级数.对于同号级数,只需研究各项都是由正数组成的级数 正项级数.如果级数的各项都是负号,则它乘以-1后就得到一个正项级数,它们有相同的敛散性.第十章 级数定理定理1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列 sn 有界.定理定理2(正项级数的比较判别法正项级数的比较判别法)设两个正项级数如果存在某个正数n N,都有un vn,第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数二、二、交错级数交错级数第十章 级数第十章 级数三、三、绝对收敛和条件收敛绝对收敛和条件收敛第十章 级数第十章 级数第三节第三节 函数项级数和幂级数函数项级数和幂级数一、一、函数项级数函数项级数定义定义1 设u1(x),u2(x),un(x),是一列定义在同一数集E 上的函数,称为定义在E 上的函数列,记作un(x).第十章 级数定义定义2 设un(x)是定义在数集E 上的一个函数列,表达式第十章 级数第十章 级数第十章 级数二、二、幂级数幂级数定义4 由幂函数序列 an(x-x0)n 所产生的函数项级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数例例3 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.第十章 级数第十章 级数第十章 级数三、三、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数一、一、三角级数三角级数在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数y=Asin(x+)来描述,也称简谐振动.第十章 级数二、二、傅里叶级数傅里叶级数第十章 级数第十章 级数第十章 级数例例2 在电子技术中经常用到矩形波,用傅里叶级数展开后,就可以将矩形波看成一系列不同频率的简谐振动的叠加,在电工学中称为谐波分析.设f(x)是周期为2的矩形波函数,在-,)上的表达式为求该矩形波函数的傅里叶级数.第十章 级数第十章 级数三、三、周期为周期为2l的函数展开成傅里叶级数的函数展开成傅里叶级数第十章 级数若x 是函数f(x)的间断点,则第十章 级数第十章 级数所以f(x)的傅里叶级数为第十章 级数四、四、偶函数与奇函数的傅里叶级数偶函数与奇函数的傅里叶级数第十章 级数第十章 级数