全国高中数学竞赛二试模拟训练题+数学竞赛集合与函数试题训练

全国高中数学竞赛二试模 拟训练题+数学竞赛集合与函数试题训练 加试模拟训练题 1、已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，与圆交于两点，且满足，若交于点，交于点，与的中垂线交于点，证明四点共圆。（05年日本） 2.设是正实数,且满足,证明: 3、设A是一个有个元素的集合，A的个子集两两互不包含， 试证：（1）（2） 其中表示所含元素的个数，表示个不同元素取个的组合数. 4．设是直角三角形的三边长。如果是整数，求证：可以被30整除。 证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。 加试模拟训练题（15） 1、已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，与圆交于两点，且满足，若交于点，交于点，与的中垂线交于点，证明四点共圆。（05年日本） 证明 因为是调和点列，且，所以在关于点的阿波罗尼斯圆上。连，有。设的外接圆与交于点，则有，即在的中垂线上，从而有，因此四点共圆。 2.设是正实数,且满足,证明: (第41届国际数学奥林匹克试题) 分析与证明: 令.易知.则 = 同理有其它两式,再令 . 则原不等式等价于齐次不等式:. 因为 同理有; . 故 . 从而原不等式成立. 3、设A是一个有个元素的集合，A的个子集两两互不包含，试证：（1）（2） 其中表示所含元素的个数，表示个不同元素取个的组合数. （1993年，全国高中数学联赛二试第二大题） 【证明】（1）据组合公式知，（1）式等价于 ① 对于A的子集我们取补集并取的元素在前，元素在后，作排列，. ② 这样的排列共有个. 显然,②中每一个排列,也是A中的一个排列,若时，对应的排列与对庆的排列互不相同，则所对应的排列总数便不会超过A中排列的总数现假设中对应的某一排列，. ③ 与（）中对应的某一排列②相同（指出现的元素及元素位置都相同），则当时，；当时，，这都与两两互不包含，矛盾. 由于对应的排列对②互不相同，而A中个元素的全排列有！个，故得 即 （2）由上证及柯西不等式，有 【评述】本题取自著名的Sperner定理： 设Z为元素，为Z的子集，互不包含，则的最大值为. 4．设是直角三角形的三边长。如果是整数，求证：可以被30整除。 证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。 若2 ，2 ，2 c，则，又因为矛盾！ 所以2|. 若3 ，3 ，3 c，因为，则，又，矛盾！从而3|. 若 5 ，5 ，5 c，因为，， 所以或0(mod5)与矛盾！ 从而5|. 又(2,3,5)=1，所以30|. 高一数学竞赛集合与函数试题训练 6．已知函数的定义域为（其中），值域为，则符合条件的数组为． 8．已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是． 1.已知函数f(x)满足f()=log2, 则f(x)的解析式是( C ) A.2-x B.log2 x C. -log2 x D.x-2 2.已知f(x)=1-(-1≤x≤0), 函数y=f(x+1)与y=f(3-x)的图象关于直线l 对称, 则直线l的方程为( B ) A.x=2 B.x=1 C.x= D.x=0 3.设f(x)是R上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f()=0, f(log4x)＞0, 那么x的 取值范围是( A ) A.x＞2或＜x＜1 B.x＞2 C.＜x＜1 D.＜x＜2 4.已知定义域为R的函数y=f(x)在(0, 4)上是减函数, 又y=f(x+4)是偶函数, 则( A ) A. f(5)＜f(2)＜f(7) B. f(2)＜f(5)＜f(7) C. f(7)＜f(2)＜f(5) D. f(7)＜f(5)＜f(2) 5.若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈(0,]成立, 则a的最小值为( C ) A.0 B. -4 C.-5 D. -6 6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)= -f(x+2), 且当x＞1时, f(x)单调递增. 如果x1+x2＜2, 且(x1-1)(x2-1)＜0, 则f(x1)+f(x2)的值( B ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负 7.若函数f(x)=25-|x+5| -4×5-|x+5| +m的图象与x轴有交点, 则实数m的取值范围是( D ) A.m＞0 B.m≤4 C.0＜m≤4 D.0＜m≤3 8.对定义在区间[a, b]上的函数f(x), 若存在常数c, 对于任意的x1∈[a, b]有唯一的x2∈[a, b], 使得=c成立, 则称函数f(x)在区间[a, b]上的“均值”为c. 那么, 函数f(x)=lgx在[10, 100]上的“均值”为( D ) A. B.10 C. D. 12.已知方程组的解为和, 则log18(x1 x2 y1 y2)=____12____ 13.若关于x的方程4x+2xm +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数m的取值范围是_________________ 14.设card(P)表示有限集合P的元素的个数. 设a=card(A), b=card(B), c=card(A∩B), 且满足a≠b, (a+1)(b+1)=2006, 2a+2b=2a+b-c+2c, 则max{a, b}的最小值是58_____ 16.设函数f(x)的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x, y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立. 已知f(2)=1, 且x＞1时, f(x)＞0. (1)求f()的值; (2)判断y=f(x)在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明; (3)解不等式f(x2)＞f(8x-6) -1. 16.(1)令x=y=1, 则可得f(1)=0, 再令x=2, y=, 得f(1)=f(2)+f(), 故f()= -1 (2)设0＜x1＜x2, 则f(x1) +f()=f(x2) 即f(x2) -f(x1)=f(), ∵＞1, 故f()＞0, 即f(x2)＞f(x1) 故f(x)在(0, +∞)上为增函数 (3)由f(x2)＞f(8x-6) -1得f(x2)＞f(8x-6) +f()=f [(8x-6)], 故得x2＞4x-3且8x-6＞0, 解得解集为{x|＜x＜1或x＞3} 17.已知函数f(x)=loga (ax2-x+)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a的取值范围. 17.题设条件等价于(1) 当a＞1时, ax2-x+＞1对x∈[1, 2]恒成立; (2)当0＜a＜1时, 0＜ax2-x+＜1对x∈[1, 2]恒成立. 由(1)得a＞对x∈[1, 2]恒成立, 故得a＞. 由(2)得 对x∈[1, 2]恒成立, 故得＜a＜. 因此, a的取值范围是a＞或＜a＜ 15、设k为正整数，使得也是一个正整数，求k的值。 〔解〕：15、解:令,得, 令 得与均为偶数. (1) 若均为偶数,令,则 得,, 或或或 由,得m=251002或m=83670或m=27898或m=1670. 这时,k=252004或84672或28900或2672。 (2) 若均为奇数,令则 为奇数,得与均为奇数,矛盾! 这时无解. 综上所述,k的值为252004或84672或28900或2672。 12．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2005，则a5n＝ ． 填52000． 解：一位的吉祥数有7，共1个； 二位的吉祥数有16，25，34，43，52，61，70，共7个； 三位的吉祥数为x1+x2+x3＝7的满足x1≥1的非负整数解数，有C＝28个(也可枚举计数)． 一般的，k位的吉祥数为x1+x2+…+xk＝7的满足x1≥1的非负整数解数，令xi¢＝xi+1(i＝2，3，…，k)，有x1+x2¢+…+xk¢＝7+k－1．共有解C＝C组． 4位吉祥数中首位为1的有28个，2005是4位吉祥数中的第29个．故n＝1+7+28+28+1＝65．5n＝325． C+C+C+C+C＝1+7+28+84+210＝330．即是5位吉祥数的倒数第6个： 5位吉祥数从大到小排列：70000，61000，60100，60010，60001，52000，…． 3、对于函数，若同时满足下列条件： （1）在D内是单调函数：（2）存在区间，使在上的值域为，那么叫做闭函数。 （1）判断函数是否为闭函数，并说明理由。 （2）求函数符合条件的区间。 （3）若为闭函数，求实数k的取值范围。 3、（1）由可知对称轴为 所以在上为单调减函数，可求得，不符合闭函数定义。 （2）因为在R上为减函数，从R中取，要使 即，所以区间为 （3），所以y在D上为单调增函数 ，要使，则，即方程有两个根 两边平方有利用判别式可得 又，所以又，所以 综上可得 高中数学竞赛（预赛）训练试题（三） 姓名： 班级 ： 分数 ： 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.） 1.定义集合运算: .设，，则集合的所有元素之和为（ ） A.16 B.18 C. 20 D.22 2.已知是等比数列，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. ４．已知、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的（　　） Ａ．必要而不充分条件　　　　　　　Ｂ．充分而不必要条件 Ｃ．充分而且必要条件　　　　　　　Ｄ．既不充分又不必要条件 5．设函数定义在上，给出下述三个命题： ①满足条件的函数图象关于点对称；②满足条件的函数图象关于直线对称；③函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称.其中，真命题的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题： ①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点 ③的最大值为5 ④的最小值为1 其中真命题为（ ） A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 7.设，，，,则的大小关系是（　　） 　Ａ．　　　　　　　　Ｂ． 　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ． 8. 设函数，且，，则（ ） A.2 B.1 C.0 D. 二、填