吉林省长春市八年级上学期期末数学试题解析版

八年八年级级上学上学期期期末数学期末数学试试题题 一、一、单选题单选题 1．4 的平方根是（） A．2B．﹣2C．±2D．没有平方根 2．计算的结果是（） A.B． 3．数字“20211202”中，数字“2”出现的频数是（ 1.B．2 4.下列命题中是假命题的是（） A．两点之间，线段最短 C．D． ） C．3D．4 B．同旁内角互补 C．等角的补角相等 5．在中，若 A． D．垂线段最短 ，则（） B．C．D．不能确定 6．打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（） A．带①②去B．带②③去C．带③④去D．带②④去 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交 AB、AC 于点 D、E， 再分别以点 D、E 为圆心，大于DE 长为半径画圆弧，两弧交于点 F，作射线 AF 交边 BC 于点 G．若 CG ＝3，AB＝10，则△ABG 的面积是（） A．3 8．若中刚好有 B．10C．15 ，则称此三角形为“可爱三角形”，并且 D．30 称作“可爱角”．现有 一个“可 爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ A．或B．或 ） ． C．或 二、填空二、填空题题 D．或或 9．比较大小： 5．（填“>”或“<”或“=”） 10.因式分解：． 11.如图，在△ABC 中，AB＝AC，边 AB 的垂直平分线 DE 交 BC 于点 E，连结 AE，若∠BAC＝120°，则 ∠AEC 的大小为 度． 12．已知长方形面积为 6y4﹣3x2y3+x2y2，它的一边长为 3y2，则这个长方形另外一边长 为 ． 13．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则∠E= 度． 14．如图，Rt△ABC 中，AB，BC＝3，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为． 三、解答三、解答题题 15．计算：． 16．计算：． 17.先化简，再求值：，其中． 18.如图，△ABC 中，AB＝AC，点 E、F 在边 BC 上，BF＝CE，求证：AE＝AF． 1 / 9  19．图①、图②都是 4×4 的正方形网格，每个小正方形的项点为格点，每个小正方形的边长均为 1，在图 ①、图②中已画出 AB，点 A、B 均在格点上，按下列要求画图： 1在图①中，画一个以 AB 为腰且三边长都是无理数的等腰三角形 ABC，点 C 为格点； 2在图②中，画一个以 AB 为底的等腰三角形 ABD，点 D 为格点． 20．为了解某校学生睡眠时间情况，随机抽取若干学生进行调查．学生睡眠时长记为 x 小时，将所得数据分为 5 组（A：；B：；C：；D：；E：） ，学校将所得到的数据进行分 析，得到如下部分信息： 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出 a 的值； （2）补全条形统计图； （3）根据学校五项管理有关要求，中学生睡眠时间应不少于 9 个小时，那么估计该中学 1000 名学生中符 合要求的有多少人？ 21．如图，在笔直的公路 AB 旁有一座ft，为方便运输货物现要从公路 AB 上的 D 处开凿隧道通一条公路到 C 处，已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为 3km，与公路上另一停靠站 B 的距离为 4km，且 AC⊥BC ， CD⊥AB． （1）求修建的公路 CD 的长； （2）若公路 CD 建成后，一辆货车由 C 处途经 D 处到达 B 处的总路程是多少 km？ 22．如图 1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在△ABC 中，∠C=90°， 则 AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”。 （1）如图 1，在△ABC 中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求 AC＝ ； （2）如图 2，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2 ； （3）如图 3，分别以 Rt△ACB 的直角边 BC 和斜边 AB 为边向外作正方形 BCFG 和正方形 ABED，连结 CE、AG、GE．已知 BC＝4，AB＝5，求 GE2 的值． 23． （1）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图 1，是用长为 x，宽为 y （x＞y）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以 得到（x﹣y）2、 （x+y）2、xy 三者之间的等量关系式：； （2）【知识迁移】如图 2 所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大 正方体的体积，我们也可以得到一个等式： ； （3） 【成果运用】利用上面所得的结论解答： 2 / 9  ①已知 x＞y，x+y＝3，xy，求 x﹣y 的值； ②已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，则 a3+b3＝▲． 24．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点 P 以 2cm/s 的速度沿射线 BC 运动， 同时，点 Q 从点 C 出发，以 acm/s 的速度向终点 A 运动，当 Q 点停止运动时，P 点也随之停止运动，设点 P 的运动时间为 t（s）（t＞0）． 1用含 t 的代数式表示 PC 的长； 2若点 Q 的运动速度为 1cm/s，当△CQP 是以∠C 为顶角的等腰三角形时，求 t 的值； 3当点 Q 的运动速度为多少时，能使△BPD 与△CQP 在某一时刻全等． 3 / 9  答案解析部答案解析部分分 1． 【答案】C 【知识点】平方根 【解析】【解答】解：4 的平方根， 即：， 故答案为：C． 【分析】根据平方根的性质求解即可。 2． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法 【解析】【解答】解：. 故答案为：B. 【分析】直接利用同底数幂除法的运算法则：底数不变，指数相减解答即可. 3． 【答案】D 【知识点】频数与频率 【解析】【解答】解：数字“20211202”中，共有 4 个“2”， ∴数字“2”出现的频数为 4， 故答案为：D． 【分析】根据频数的定义求解即可。 4 ． 【答案】B 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； C、等角的补角相等，是真命题； D、垂线段最短，是真命题； 故答案为：B． 【分析】根据线段，垂线段的公理，平行线的性质以及补角的性质判断即可。 5． 【答案】B 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：， ， 为直角三角形， ， 故答案为：B. 【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断. 6． 【答案】A 【知识点】三角形全等的判定（ASA） 【解析】【解答】A 选项带①②去，符合三角形 ASA 判定，选项 A 符合题意； B 选项带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项 B 不符合题意； C 选项带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项 C 不符合题意； D 选项带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项 D 不符合题意； 故答案为：A． 【分析】采用排除法进行分析从而确定答案。 7． 【答案】C 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质 【解析】【解答】解：作 GH⊥AB 于 H ， 由基本尺规作图可知，AG 是△ABC 的角平分线， ∵∠C＝90°，GH⊥AB ， ∴GH＝CG＝3， ∴△ABG 的面积＝×AB×GH＝15， 故答案为：C． 【分析】由基本尺规作图可知 AG 是角的平分线，再根据角的平分线性质定理可知 GH=CG，再根据三角形的 4 / 9  面积公式即可。 8 ． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质；定义新运算 【解析】【解答】解：由题意可知：设这个等腰三角形为△ABC，且， 情况一：当∠B 是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C， 由三角形内角和为 180°可知：∠A+∠B+∠C=180° ， ∴5∠C=180°，∴∠C=36°， ∠A=∠B=72°， 此时可爱角为∠A=72° ， 情况二：当∠C 是底角，则另一底角为∠A，且∠B=2∠A=2∠C， 由三角形内角和为 180°可知：∠A+∠B+∠C=180° ， ∴4∠C=180°，即∠C=45° ， 此时可爱角为∠A=45° ， 故答案为：C． 【分析】当∠B 是底角时，则另一底角为∠A，且∠A=∠B=2∠C，当∠C 是底角，则另一底角为∠A，且 ∠B=2∠A=2∠C，分两种情况讨论即可。 9． 【答案】< 【知识点】实数大小的比较 【解析】【解答】解：()2=17，52=25， ∵17<25， ∴<5． 故答案为：<． 【分析】利用实数比较大小的方法求解即可。 10．【答案】a（a+2）（a-2） 【知识点】提公因式法因式分解；因式分解﹣运用公式法 【解析】【解答】解：原式=a（a+2）（a-2）. 故答案为 a（a+2）（a-2）. 【分析】根据因式分解的提公因式法和公式法中的平方差公式即可得出答案. 11． 【答案】60 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：如图： 在△ACB 中，∵AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=， ∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴AE=EB， ∴∠1=∠B=30° ， 又∠AEC 是△ABE 的一个外角， ∴∠AEC=∠B+∠1=60° ． 故答案为：60． 【分析】先利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠B=∠C=，再利用垂直平分线的性 质可得∠1=∠B=30°，最后利用三角形的外角可得∠AEC=∠B+∠1=60° ． 12． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【解析】【解答】解：根据题意，则 ； 故答案为：． 【分析】根据长方形的面积公式列出算式，再利用多项式除以单项式的计算法则求 解即可。 13． 【答案】15 【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60° ， ∵CG=CD， 5 / 9  ∴∠CDG=∠CGD=30°， ∵DF=DE， ∴∠E=∠DFE=15° ． 故答案为：15． 【分析】先求出∠ACB=60°，再求出∠CDG=∠CGD=30°，最后计算求解即可。 14．【答案】2 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】∵D 是 CB 中点，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：， ∴． 故答案是：2． 【分析】设，则 1 5．【答案】解：原式= ，根据勾股定理列出方程，求解即可。 【知识点】实数的运算 【解析】【分析】利用有理数的乘方，绝对值，平方根，立方根计算求解即可。 1 6．【答案】解： 【知识点】单项式乘单项式 【解析】【分析】利用单项式乘单项式法则计算求解即可。 1 7．【答案】解：（x＋1）（x－1）－（x－2）2 ＝x2－1－（x2－4x＋4） ＝x2－1－x2＋4x－4 ＝4x－5 把 x＝3 代入， 原式＝4×3－5 ＝7 【知识点】利用整式的混合运算化简求值 【解析】【分析】先化简整式，再将 x=3 代入计算求解即可。 1 8．【答案】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C ， 在△ACE 和△ABF 中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴AE=AF． 【知识点】三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】先利用“SAS”证明△ACE≌△ABF，再利用全等三角形的性质可得 AE=AF。 1 9．【答案】（1）解：如图所示：△ABC 即为所求； （2）解：如图所示：即为所求． 【知识点】作图-三角形 【解析】【分析】 （1）根据题意要求作图即可； （2）根据作三角形的方法作图即可。 20．【答案】（1）解：结合两个图形可得：A 组频数为 23，所占比例为 23%， 6 / 9  ∴抽取的总人数为：（人） ， ∴D 组所占的比例为：， ∴a 的值为 8； （2）解：C 组频数为：， 补全统计图如图所示： （3）解：不少于 9 个小时的只有 A、B 两个组，总数为： 所占比例为：， ∴估计符合要求的人数为：（人） ． 【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图 ， 【解析】【分析】 （1）利用“A”的频数除以对应的百分比即可得到总人数，再利用“D”的频数除以总人数即可得 到 a 的值； 2利用总人数减去“A、B、D、E”的人数即可得到 C 的频数； 3先求出“不少于 9 个小时的”频数，再除以总人数求出百分比，最后乘以 1000 即可得到答案。 2 1．【答案】（1）解：∵， ∴， 根据题意可得：，， ∴， ， ∴ ∴， ， ∴修建的公路 CD 的长为； ，（2）解：∵ ∴， 根据题意可得：，， ∴， ∴ ∴总路程为． ， 【知识点】三角形的面积；勾股定理 【解析】【分析】 （1）先利用勾股定理求出 AB 的长，再利用三角形的面积公式列出方程 ，求出 CD 的长即可； （2）先利用勾股定理求出 BD 的长，再利用线段的和差求出 CD+BD 的值即可。 22．【答案】（1）3 （2）证明：在 Rt△DOA 中，∠DOA=90° ， ∴OD2+OA2=AD2， 同理：OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2， ∴AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2， ∴AB2+CD2=AD2+BC2 ； （3）解：连接 CG、AE，设 AG 交 CE 于 I，AB 交 CE 于 J，如图 3 所示： ∵四边形 BCFG 和四边形 ABED 都是正方形， ∴∠GBC=∠EBA=90°，AB=BE=5，BG=BC=4， ∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA， ∴∠ABG=∠EBC， 在△ABG 和△EBC 中， 7 / 9  ， ∴△ABG≌△EBC（SAS）， ∴∠BAG=∠BEC， ∵∠AJI=∠EJB ， ∴∠EBJ=∠AIJ=90° ， ∴AG⊥CE ， 由（2）可得：AC2+GE2=CG2+AE2， 在 Rt△CBG 中，CG2=BC2+BG2， 即 CG2=42+42=32， 在 Rt△ABE 中，AE2=BE2+AB2， 即 AE2=52+52=50， 在 Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2， 即 52=AC2+42， ∴AC2=9， ∵AC2+GE2=CG2+AE2 ， 即 9+GE2=32+50， ∴GE2=73． 【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC 中，∠C=90°中，BC=4，AB=5， ∴AC==3， 故答案为：3； 【分析】 （1）利用勾股定理计算求解即可； 2先求出 OD2+OA2=AD2， 再利用勾股定理证明求解即可； 3先求出 ∠ABG=∠EBC， 再证明 △ABG≌△EBC（SAS）， 最后求解即可。 2 3．【答案】（1） （2） （3）①解： ∵，， 利用结论可得： ， ， ∴， ∵， ∴； ②40 【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；非负数之和为 0 【解析】【解答】解：（1）知识生成： 如图 1，方法一：已知边长直接求面积为， 方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积， ∴面积为， ∴由阴影部分面积相等可得：， 故答案为：； （2）知识迁移： 方法一：正方体棱长为， ∴体积为， 方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即 ， ∴ 故答案为：； ②∵ ∴，， ， ∵， ∴ ， 8 / 9  ， ； 故答案为：40． 【分析】 （1）结合图形，利用完全平方公式计算求解即可； （2）先求出体积为，再求出，最后作答即可； （3）①先求出， 再求出， 最后求解即可；（3）分两种情况讨论即可：①当时，，②当时， 在分别计算出 t 的值，进 ②根据题意先求出，，再求解即可。而得出 a 的值。 2 4．【答案】（1）解：∵点 P 的运动速度为 2cm/s， ∴， ∴； （2）解：以为顶角的等腰三角形， 则， 即 解得： ∴当 ， ， ， 时， ， 是以为顶角的等腰三角形； （3）解：①当时，， 此时， 根据题意可得：，，，， ∴，， 解得：，， ②当时， ∵与全等，， ∴，， ∴， ∴， 综上可得：当 Q 的速度为 2cm/s 或 时，与在某一时刻全等． 【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题 【解析】【分析】 （1）根据 P 点的运动速度可得出 BP 的长，再利用 BC-BP 即可得出 PC 的长； （2）根据 CQ=CP 列出方程，求解即可； 9 / 9