高三立体几何章末检测试卷

章末检测试卷(一) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有(　　) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 答案　C 解析　有3对侧面相互平行，上下两底面也相互平行． 2．如图，B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则下面直观图所表示的平面图形是(　　) A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 考点　平面图形的直观图 题点　由直观图还原平面图形 答案　D 解析　因为B′C′∥x′轴，A′C′∥y轴，所以直观图中BC∥x轴，AC∥y轴，所以三角形是直角三角形．故选D. 3．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　) A．12对B．24对C．36对D．48对 考点　 题点　 答案　B 解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB异面的直线有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4对，正方体ABCD－A1B1C1D1有12条棱，排除重复计算的异面直线，∴异面直线共有12×2＝24(对)． 4．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 考点　 题点　 答案　A 解析　设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，则由题意得πrL＝2πr2， ∴L＝2r，∴圆锥的母线与轴所成的角为30°. 5．下列命题： ①在平面外的直线与平面不相交必平行； ②过平面外一点只有一条直线和这个平面平行； ③如果一条直线与另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面平行； ④若直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行于该平面． 其中正确命题的个数为(　　) A．1B．2C．3D．4 考点　直线与平面平行的判定 题点　直线与平面平行的判定 答案　A 解析　①正确，②③④错误． 6．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　) A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交 考点　 题点　 答案　D 解析　如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面． 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断： ①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推断正确的序号是(　　) A．①③B．①④C．②③D．②④ 考点　平行问题的综合应用 题点　线线、线面、面面平行的相互转化 答案　A 解析　∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1. ∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊈平面AA1D1D， AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误； ∵FG∥BC1，FG⊈平面BC1D1，BC1?平面BC1D1， FG∥平面BC1D1，故③正确； ∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A. 8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，，，则此三棱锥的外接球的表面积为(　　) A．3π B．6π C．18π D．24π 考点　球的表面积 题点　与外接、内切有关球的表面积计算问题 答案　B 解析　将三棱锥补成边长分别为1，，的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R＝，解得R＝，故S＝4πR2＝6π. 9．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　) A. B. C. D. 考点　 题点　 答案　A 解析　如图所示，设球的半径为R，由题意知OO′＝，OF＝R， ∴r＝R. ∴S截面＝πr2＝π2＝R2. 又∵S球＝4πR2，∴＝＝. 10．已知直线l⊈平面α，直线m?平面α，下面四个结论：①若l⊥α，则l⊥m；②若l∥α，则l∥m；③若l⊥m，则l⊥α；④若l∥m，则l∥α，其中正确的是(　　) A．①②④ B．③④ C．②③ D．①④ 考点　线、面平行、垂直的综合应用 题点　平行与垂直的判定 答案　D 解析　由直线l⊈平面α，直线m?平面α知， 在①中，若l⊥α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故①正确；在②中，若l∥α，则l与m平行或异面，故②错误；在③中，若l⊥m，则l与α不一定垂直，故③错误；在④中，若l∥m，则由线面平行的判定定理得l∥α，故④正确．故选D. 11．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是(　　) A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE 考点　空间中的垂直问题 题点　空间中的垂直问题 答案　C 解析　由AB是底面圆的直径可知，∠AEB＝90°， 即AE⊥EB. ∵四边形ABCD是圆柱的轴截面， ∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB. ∴BE⊥AD，AD∩AE＝A， 因此BE⊥平面ADE. 同理可得AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE. 可得A，B，D正确． 而DE⊥平面CEB不正确． 故选C. 12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是(　　) A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMB B．异面直线AD与PB所成的角为90° C．二面角P－BC－A的大小为45° D．BD⊥平面PAC 考点　空间角问题 题点　空间角的综合应用 答案　D 解析　对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，∵侧面PAD为正三角形， ∴PM⊥AD，又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M， ∴AD⊥平面PBM，故A正确． 对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确． 对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD， ∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM， ∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角， 设AB＝1，则BM＝，PM＝， 在Rt△PBM中，tan∠PBM＝＝1， 即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A大小为45°，故C正确．错误的是D，故选D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5＋)π，则旋转体的体积为________． 考点　 题点　 答案　 解析　如图所示的是旋转体的半轴截面，设直角梯形的上底长为r，则下底长为r，∠C＝45°， 所以DE＝，DC＝r，所以旋转体的表面积为S表＝π·＋2π··r＋π··r＝r2(5＋)． 又因为S表＝(5＋)π，所以r2＝4，所以r＝2， 所以V＝π·2·r＋π·2·＝. 14．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于点M，则MN与AD的位置关系是________． 考点　平面与平面垂直的性质 题点　应用面面垂直的性质定理判定线线垂直 答案　垂直 解析　∵平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面BCC1B1∩平面ABCD＝BC，MN?平面BCC1B1， ∴MN⊥平面ABCD.∴MN⊥AD. 15．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α∥β.要想得到m⊥β，则所需要的条件是________．(填序号) 考点　直线与平面垂直的判定 题点　判定直线与平面垂直 答案　②④ 解析　易知⇒m⊥β. 16.如图，已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°.若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是________． 考点　 题点　 答案　90° 解析　因为OP与平面β所成的角大于等于45°，所以OP与平面β所成的角最小为45°，即OP与OP在平面β内的射影所成的角最小是45°.又因为∠POB＝45°，所以AB就是OP在平面β内的射影，所以α⊥β.所以二面角α－AB－β的大小是90°. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点． (1)求证：AC⊥B1C； (2)求证：AC1∥平面CDB1. 考点　 题点　 证明　(1)∵C1C⊥平面ABC，AC?平面ABC， ∴C1C⊥AC. ∵AC＝9，BC＝12，AB＝15， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴AC⊥BC. 又BC∩C1C＝C，BC，C1C?平面BCC1B1， ∴AC⊥平面BCC1B1， 而B1C?平面BCC1B1， ∴AC⊥B1C. (2)连接BC1交B1C于O点，连接OD. 如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1. 又OD?平面CDB1，AC1⊈平面CDB1. ∴AC1∥平面CDB1. 18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点． (1)证明：EF∥平面PAD； (2)求三棱锥E－ABC的体积V. 考点　直线与平面平行的判定 题点　直线与平面平行的证明 (1)证明　在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点， ∴EF∥BC. ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD，∴EF∥AD. 又∵AD?平面PAD，EF⊈平面PAD， ∴EF∥平面PAD. (2)解　连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G.则EG⊥平面ABCD，且EG＝PA. 在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2， ∴AP＝AB＝，EG＝. ∴S△ABC＝AB·BC＝××2＝， ∴VE－ABC＝S△ABC·EG＝××＝. 19.(12分)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°. (1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值； (2)证明：CD⊥平面ABF. 考点　直线与平面垂直的判定 题点　直线与平面垂直的证明 (1)解　因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED， 故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，因为CD＝1，ED＝2，所以CE＝＝3，所以cos∠CED＝＝.故异面直线CE与AF所成角的余弦值为. (2)证明　如图，过点B作BG∥CD交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°. 由∠BAD＝45°可得BG⊥AB， 从而CD⊥AB. 又因为CD⊥FA，FA∩AB＝A， 所以CD⊥平面ABF. 20.(12分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点． 求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF； (2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 考点　线、面平行、垂直的综合应用 题点　平行、垂直综合问题的证明 证明　(1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中， ∵F，F1分别是AC，A1C1的中点， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F. 又∵B1F