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宜昌市协作体高三期中考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设i为虚数单位，若复数z满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．等于（ ）
A． B． C． D．2
4．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，，点E是的中点，点F满足，且，则（ ）
A．9 B． C． D．
6．生物体的生长都经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢、在发展阶段速度加快，在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为生长曲线．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为，一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为，x表示果树生长的年数，表示生长第x年果树的高度，若刚栽种时该果树高为，经过一年，该果树高为，则（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知定义在R上的偶函数满足，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择：本面共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，州下列说法正确的是（ ）
A．的图象可由图象向右平移个单位长度得到
B．图象的一条对称轴的方程为
C．在区间上单调递增
D．的解集为
11．已知函数，若，则下说法正确的是（ ）
A．当时，有4个零点 B．当时，有5个零点
C．当时，有1个零点 D．当时，有2个零点
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，曲线在点处的切线方程为
B．若对任意的，都有，则实数m的取值范围是
C．当时，既存在根大值又存在极小值
D．当时，恰有3个零点，且
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若角的终边在第四象限，且，则____________．
14．已知函数是奇函数，用实数a的取值范围为____________．
15．在中，，点D是上一点，是的平分线，，则的面积为____________．
16．已知函数，若，且，则的最大值为____________．
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知平面向量满足，其中．
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求与夹角的余弦值．
18．（本小题满分12分）
已知关于x的不等式的解集是．
（1）求实数a，b的值；
（2）若，且，求的最小值．
19．（本小题满分12分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求的面积；
（2）若，求b．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求在区间上的值域；
（2）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若，且，求的值．
条件①：；
条件②：图象的一条对称轴为；
条件③：若，且的最小值为．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
22．（本小题满分12分）
已知函数（e是自然对数的底数）．
（1）当时，试判断在上极值点的个数；
（2）当时，求证：对任意．
宜昌市协作体高三期中考试·数学试卷
参考答案、提示及评分细则
1．D 集合，集合，∴．故选D．
2．C 由已知得，所以，所以．故选C．
3．C ．故选C．
4．D 由题图知：的定义域为，排除A；
当，故是奇函数，排除B．
当，故是奇函数，排除C．故选D．
5．A 因为，所以，即，解得，又，所以，故选A．
6．B 根据已知，得且，得，所以，从而，所以．故选B．
7．A 若，则，即，所以．所以，即，所以，所以，所以，所以“”是“”的充分条件．若，则，即，所以，所以或，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．
8．A 因为定义在R上的偶函数满足，故，即，即的周期为3．又，故，即．因为，即，故构造函数，则，所以在R上单调递增，且．又，即，所以，解得．故选A．
9．BD 因为，故A错误；因为，所以，所以，故B正确；当时，，故C错误；因为，所以，故D正确．故选BD．
10．ABD 由题意知，解得，所以，所以．又点在的图象上，所以，所以，解得，又，所以，所以，将向右平移个单位可得，故A正确；令，解得，所以图象的对称轴的方程为．放B正确；当时，，故C错误；，即，所以，解得，即的解集为，故D正确．故选ABD．
11．AC 当时，令，所以，解得或或．作出函数的图象，如图1所示，易得有4个不同的实数解，即当时，有4个零点．故A正确，B错误；
当时，令，所以，解得或．作出函数的图象，如图2所示，易得有1个实数解，即当时，有1个零点．故C正确，D错误．故选AC．
12．BCD 当时，，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，故A错误；因为对任意的，都有，所以在上单调递增，即在上恒成立．令，则．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，所以，解得，即实数m的取值范围是，故B正确；当时，由B选项知，，令，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，又在上单调递减，所以存在，使得．又，又在上单调递增，所以存在，使得．所以当时，为增函数，当时，为减函数，当时，为增函数，故既存在极大值又存在极小值，故C正确；因为，由C选项知，．当时，；当时，，故函数有三个零点，不妨设为，．又，故有，则．即当时，恰有3个零点，且，故D正确．故选BCD．
13．7 因为角的终边在第四象限，且，所以，，所以．
14． 因为，所以且，得，因为函数是奇函数，所以，即，即，得恒成立，所以，所以，即．
15． 因为，所以，即，即，由余弦定理得，即，解得，所以的面积为．
16． 因为，所以，又，所以，所以．因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，又，所以，所以．令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为．
17．解：（1）因为，所以，即，
所以．
又，所以，
解得．
（2）因为，所以，
解得，所以，所以，
所以，
所以．
18．解：因为关于x的不等式的解集是，
所以和是方程的两个根，所以
解得
当时，的解集是，符合题意．所以．
（2）由（1）知，所以，
又，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
19．解：（1）因为，所以，
所以，
所以，
由正弦定理得，所以，
所以．
又，所以，
，所以．
（2）由正弦定理得：，
所以，
所以，所以．
20．解：（1）若，则．
令，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，当时，，所以．
所以在区间上的值域为．
（2）令．若关于x的方程在上有解，即在上有解，即在上有解．
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又，所以，
所以，即实数a的取值范围是．
21．解：（1）选择条件①②：由条件①，所以，解得，
又，所以．
由条件②得，解得，所以的解析式不唯一，不合题意；
选择条件①③：由条件①，所以，解得，
又，所以．
由条件③得，得，所以，所以．
选择条件②③：由条件③得，得，所以，所以，
又图象的一条对称轴为，所以，解得，
又，所以，所以．
（2）由题意得
，
因为，所以，即，又，所以，若，则，又，所以．因为，所以，
又，所以，
所以
．
22．（1）解：当时，，
则．
设，则在上是增函数，
又，
所以存在，使得，
当时，，则，即在上单调递减；
当时，，则，即在上单调递增，
所以在上只有一个极值点，且为极小值点．
（2）证明：由，
设，则在上是增函数，
当时，，因为，所以，
所以存在，使得，
当时，，则，即在上单调递减；
当时，，则，即在上单调递增，
故是函数的极小值点，也是最小值点，
则，
又因为，所以
要证对任意的，
即证，
即证．
设，则在上单调递减，
因为，所以，
故，
故对任意．
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