2021-2022学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试题及答案解析

2021-2022学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试卷（一模） 1. 下列函数中是二次函数的是(    ) A. y=x−1 B. y=1x2 C. y=(x−2)2−x2 D. y=x(x−1) 2. 已知抛物线y=(a−1)x2+2的顶点是此抛物线的最低点，那么a的取值范围是(    ) A. a≠0 B. a≠1 C. a>1 D. a<1 3. 在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=2，那么下列各式中正确的是(    ) A. tanA=13 B. cotA=13 C. sinA=13 D. cosA=13 4. 在△ABC中，AB=AC=10，cosB=25，那么BC的长是(    ) A. 4 B. 8 C. 221 D. 421 5. 已知一个单位向量e，设a、b是非零向量，那么下列等式中一定正确的是(    ) A. |e|a=a B. |b|e=b C. 1|b|b=e D. 1|a|a=1|b|b 6. 如图，已知AB//CD//EF，AC：AE=3：5，那么下列结论正确的是(    ) A. BD：DF=2：3 B. AB：CD=2：3 C. CD：EF=3：5 D. DF：BF=2：5 7. 抛物线y=ax2+2经过点(−2,6)，那么a=______． 8. 抛物线y=−x2−2x+1的对称轴是______． 9. 抛物线y=(m+3)x2+x−1在对称轴右侧的部分是上升的，那么m的取值范围是______． 10. 将抛物线y=x2−2x向左平移2个单位，得到一条新抛物线，这条新抛物线的表达式是______． 11. 在△ABC中，∠C=90°，cosB=14，BC=4，那么AB=______． 12. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3：4，那么sin∠BAC=______． 13. 如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角α=30°，如果地面目标B、C之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高度AB等于______千米．(结果保留根号) 14. 已知x：y=2：3，那么(x+y)：y=______． 15. 已知向量a、b、x满足2(a−x)=3(b−x)，试用向量a、b表示向量x，那么x=______． 16. 如图，在△ABC中，DE//BC，DF//AC，AD=3，BD=2，那么BF：DE的值是______． 17. 在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与BD相交于点O，如果△AOD、△BOC的面积分别是1cm2、4cm2，那么梯形ABCD的面积等于______cm2． 18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=25，点D在边AC上，CD：AD=1：3，连接BD，点E在线段BD上，如果∠BCE=∠A，那么CE=______． 19. 计算：tan60°⋅cot30°+tan45°cot45∘+2sin45∘+2|cos60°−1|． 20. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE=2：3，BC=4DE，CE=10.求EH、GE的长． 21. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,−2)、B(2,−3)、C(0,1)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标． 22. 如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC=3千米，灯塔B到航线l的距离为BD=4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N(在航线l上)处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C(在航线l上)处． (1)求两个灯塔A和B之间的距离； (2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1千米/小时).(参考数据：3≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) 23. 如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点E在边BC上，点G在边AB的延长线上，连接AE，并延长AE交CG于点K． (1)求证：△ABE∽△CKE； (2)如果CG与EF交于点H，求证：BE2=FH⋅AB． 24. 在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y=12x上，如图．二次函数y=ax2+bx−2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC//x轴，点A的横坐标是2． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标； (3)设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值． 25. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，ABAC=34，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED=∠CDF． (1)如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值； (2)如图2，点F为在边AB上的一点，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域； (3)如果BF：FA=1：2，求△CDE的面积． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：A.函数y=x−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B.y=1x2不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意； C.y=(x−2)2−x2是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D.函数y=x(x−1)是二次函数，故本选项符合题意． 故选：D． 本题考查了二次函数，解题的关键是掌握二次函数的定义，注意：形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数． 根据二次函数的定义逐个判断即可． 2.【答案】C  【解析】解：∵抛物线y=(a−1)x2+2的顶点是此抛物线的最低点， ∴抛物线的开口向上， ∴a−1>0， ∴a>1． 故选：C． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 由于抛物线有最低点，所以抛物线开口向上，即可列出不等式求解． 3.【答案】A  【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=2， ∴AB=AC2+BC2=62+22=210， ∴tanA=BCAC=26=13，故A正确； cotA=ACBC=62=3，故B错误； sinA=BCAB=2210=1010，故C错误； cosA=ACAB=6210=31010，故D错误． 故选：A． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义解答即可． 4.【答案】B  【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，AB=10，cosB=25， ∴BD=ABcosB=10×25=4， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2BD=8． 故选：B． 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键． 过点A作AD⊥BC，垂足为D，然后在Rt△ABD中，得到BD=ABcosB=10×25=4，再根据等腰三角形的三线合一即可求解． 5.【答案】A  【解析】解：∵e是单位向量， ∴|e|=1， ∴|e|a=a， 故A正确； ∵|b|e与b的大小相同，但方向不一定相同， 故B错误； ∵1|b|b与e大小相同，但方向不一定相同， 故C错误； ∵a与b方向不一定相同，即1|a|a不一定等于1|b|b， 故D错误． 故选：A． 本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键． 根据单位向量的性质逐一判断即可． 6.【答案】D  【解析】解：∵AB//CD//EF，AC：AE=3：5， ∴BD：DF=AC：CE=3：2，A选项错误，不符合题意； AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意； CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意； DF：BF=CE：AE=2：5，D选项正确，符合题意． 故选：D． 本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 7.【答案】1  【解析】解：把点(−2,6)代入y=ax2+2，得6=4a+2， 解得a=1． 故答案为：1． 本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据待定系数法即可求得． 8.【答案】直线x=−1  【解析】解：∵y=−x2−2x+1， ∴抛物线对称轴为直线x=−−22×(−1)=−1， 故答案为：直线x=−1． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 根据抛物线对称轴为直线x=−b2a求解． 9.【答案】m>−3  【解析】解：当抛物线对称轴右侧的部分是上升时，抛物线开口向上， ∴m+3>0， ∴m>−3． 故答案为：m>−3． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 抛物线开口向上时，抛物线在对称轴右侧的部分是上升的，即可列出不等式求解． 10.【答案】y=x2+2x  【解析】解：∵y=x2−2x=(x−1)2−1， ∴将抛物线y=x2−2x向左平移2个单位得到抛物线的解析式为：y=(x−1+2)2−1，即y=x2+2x． 故答案为：y=x2+2x． 本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 按照二次函数“左加右减，上加下减”的平移规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 11.【答案】16  【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，cosB=14，BC=4， ∴AB=BCcosB=414=16． 故答案为：16． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 12.【答案】45  【解析】解：如图，∵在菱形ABCD中， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， 设AC=6x，则BD=8x，AO=3x，OB=4x， ∴AB=AO2+BO2=5x， 在Rt△BAO中，sin∠BAC=BOAB=4x5x=45． 故答案为：45． 本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题需要用到的知识点为：菱形的对角线互相垂直且平分． 先根据题意画出图形，设AC=6x，BD=8x，然后根据菱形的对角线互相垂直且平分可得出菱形的边长，进而在Rt△BAO中可求出sin∠BAC的值． 13.【答案】23  【解析】解：如图所示，∵AD//BC， ∴∠C=∠DAC=30°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴AB=33BC=33×6=23(千米)， 即飞机离地面的高度AB等于23千米． 故答案为：23． 本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解答此题的关键． 根据平行线的性质可求出∠C的度数，再由特殊角的直角三角形的性质即可解答． 14.【答案】5：3  【解析】解：∵x：y=2：3， ∴设x=2k，则y=3k， ∴x+yy=2k+3k3k=5k3k=53． 故答案为：5：3． 本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 利用设k法进行计算即可． 15.【答案】3b−2a  【解析】解：∵2(a−x)=3(b−x)， ∴2a−2x=3b−3x， ∴x=3b−2a． 故答案为：3b−2a．