资源描述
等差数列及其前n项和
一、知识梳理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式:an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)若a,A,b成等差数列,则A叫做a,b的等差中项,且A=.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:Sn=na1+=.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列也为等差数列.
小结:
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
二、例题精讲 + 随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
解析 (3)若公差d=0,则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d=0,则前n项和不是二次函数.
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
A.31 B.32 C.33 D.34
解析 由已知可得
解得∴S8=8a1+d=32.
答案 B
3.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________.
解析 由等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.
答案 180
4.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
解析 设等差数列{an}的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-a1.又a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.
答案 B
5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为( )
A.-3 B.- C.-2 D.-4
解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
因为所以
解得d=-4.
答案 D
6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1,S2,…,S9中最小的是______.
解析 在等差数列{an}中,
∵a3+a8>0,S9<0,
∴a5+a6=a3+a8>0,S9==9a5<0,
∴a5<0,a6>0,
∴S1,S2,…,S9中最小的是S5.
答案 S5
考点一 等差数列基本量的运算
【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=( )
A.9 B.10 C.11 D.15
解析 (1)法一 设等差数列{an}的公差为d,
依题意得所以d=4.
法二 等差数列{an}中,S6==48,则a1+a6=16=a2+a5,
又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,则d=4.
(2)设等差数列{an}的公差为d,依题意得
解得
∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.
答案 (1)C (2)B
【训练1】 (1)等差数列log3(2x),log3(3x),log3(4x+2),…的第四项等于( )
A.3 B.4 C.log318 D.log324
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=________.
解析 (1)∵log3(2x),log3(3x),log3(4x+2)成等差数列,
∴log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x),
∴log3[2x(4x+2)]=log3(3x)2,则2x(4x+2)=9x2,
解之得x=4,x=0(舍去).
∴等差数列的前三项为log38,log312,log318,
∴公差d=log312-log38=log3,
∴数列的第四项为log318+log3=log327=3.
(2)法一 设数列{an}的首项为a1,公差为d,
由S3=6,S4=12,可得解得
所以S6=6a1+15d=30.
法二 由{an}为等差数列,故可设前n项和Sn=An2+Bn,
由S3=6,S4=12可得
解得即Sn=n2-n,则S6=36-6=30.
答案 (1)A (2)30
考点二 等差数列的判定与证明
【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:成等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2,
又==2,
故是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)可得=2n,∴Sn=.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-==-.
当n=1时,a1=不适合上式.
故an=
【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
解 (1)设{an}的公比为q,由题设可得
解得
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由(1)可得
Sn==-+(-1)n.
由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n.
=2=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
考点三 等差数列的性质及应用
角度1 等差数列项的性质
【例3-1】 (2019·临沂一模)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
解析 ∵在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,
由等差数列的性质,a1+3a8+a15=5a8=120,
∴a8=24,∴a2+a14=2a8=48.
答案 D
角度2 等差数列和的性质
【例3-2】 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
解析 由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得到S9-S6=2S6-3S3=45,
所以a7+a8+a9=45.
答案 B
规律方法 1.项的性质:在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
2.和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
(2)S2n-1=(2n-1)an.
【训练3】 (1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 015,-=6,则S2 019=________.
(2)(2019·荆州一模)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是( )
A.15 B.30 C.31 D.64
(3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则等于( )
A. B. C. D.
解析 (1)由等差数列的性质可得也为等差数列.
设其公差为d,则-=6d=6,∴d=1.
故=+2 018d=-2 015+2 018=3,
∴S2 019=3×2 019=6 057.
(2)由a3+a4+a5=3及等差数列的性质,
∴3a4=3,则a4=1.
又a4+a12=2a8,得1+a12=2×8.
∴a12=16-1=15.
(3)====
==.
答案 (1)6 057 (2)A (3)A
考点四 等差数列的前n项和及其最值
【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1≠0,常数λ>0,且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列的前n项和最大?
解 (1)令n=1,得λa=2S1=2a1,a1(λa1-2)=0,
因为a1≠0,所以a1=,
当n≥2时,2an=+Sn,2an-1=+Sn-1,
两式相减得2an-2an-1=an(n≥2).
所以an=2an-1(n≥2),
从而数列{an}为等比数列,an=a1·2n-1=.
(2)当a1>0,λ=100时,由(1)知,an=,
则bn=lg =lg =lg 100-lg 2n=2-nlg 2,
所以数列{bn}是单调递减的等差数列,公差为-lg 2,
所以b1>b2>…>b6=lg =lg >lg 1=0,
当n≥7时,bn≤b7=lg 0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最大值);
②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am+1=0时,Sm+1也为最小值).
【训练4】 (1)等差数列{an}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a5=5,Sn为数列{an}的前n项和,则数列的前n项和取最小值时的n为( )
A.3 B.3或4
C.4或5 D.5
(2)已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为________.
解析 (1)由题意知
由d≠0,解得a1=-3,d=2,
∴==-3+n-1=n-4,
则n-4≥0,得n≥4,
∴数列的前n项和取最小值时的n为3或4.
(2)因为等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,
Sn=na1+d=20n-×2
=-n2+21n=-
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