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专题13 排列组合与二项式定理
一、选择题部分
1.(2021•河南开封三模•理T11)某校组织甲、乙两个班的学生到“农耕村”参加社会实践活动，某天安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、竹编制作共六项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动都只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（ ）
A．126 B．360 C．600 D．630
D．
第一类，上下午共安排4个活动（上午2个，下午2个）分配给甲，乙，故有A62A42＝360种，
第二类，上下午共安排3个活动，（上午2个下午1个，或上午1个下午2个）分配给甲，乙，故有A62A41A21＝240
第三类，上下午共安排2个活动，（上午1个，下午1个）分配给甲，乙，故有A62＝30种，
根据分类计数原理，共有360+240+30＝630种．
2.(2021•河南开封三模•理T6)（a﹣x）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则实数a＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
B．
∵（a﹣x）（1+x）6的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，
设f（x）＝（a﹣x）（x+1）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a6x7，
令x＝1，则f（1）＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝（a+1）（1﹣1）5＝64（a﹣1），①
令x＝﹣1，则f（﹣1）＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（a﹣1）（﹣1﹣1）5＝0；②
①﹣②得，2（a1+a3+a5+a7）＝64（a﹣1），∴a1+a3+a5+a7＝32（a﹣1）＝64，
解得a＝3．
3.(2021•河南焦作三模•理T7)为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．64种
B．
根据题意，分2步进行分析：
①先将5人分成3组，要求甲乙在同一组，
若甲乙两人一组，将其他三人分成2组即可，有C32种分组方法，
若甲乙两人与另外一人在同一组，有C31种分组方法，
则有C31+C32＝6种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应A、B、C三个小区，有A33＝6种情况，
则有6×6＝36种不同的派遣方案．
4.(2021•河北张家口三模•T7)（x+2y﹣3z）5的展开式中所有不含y的项的系数之和为（ ）
A．﹣32 B．﹣16 C．10 D．64
A．
在（x+2y﹣3z）7的展开式中，通项公式为．
若展开式中的项不含y，则r＝65展开式中的所有项．
令x＝z＝1，得这些项的系数之和为（﹣3）5＝﹣32．
5.(2021•江西上饶三模•理T10．)现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各1本书，把这6本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个抽屉里，则不同的放法总数为（ ）
A．78 B．126 C．148 D．150
D．
根据题意，分2步进行分析：
①将6本书分为3组，要求语文和数学在同一组，
若分为2、2、2的三组，有C42＝3种分组方法，
若分为3、2、1的三组，有C41+C41C32＝16种分组方法，
若分为4、1、1的三组，有C42＝6种分组方法，
则有3+16+6＝25种分组方法；
②将分好三组全排列，放入三个不同的抽屉，有A33＝6种情况，
则有25×6＝150种安排方法．
6.(2021•重庆名校联盟三模•T5．)已知（2x2+1）（﹣1）5的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）
A．﹣10 B．﹣7 C．9 D．10
C．
（2x2+1）（）5开式中各数和为3（a﹣1）5＝0，∴a＝1，
则（）5，即，它的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•x2r﹣10，
令2r﹣10＝﹣2，求得r＝4；令2r﹣10＝0，求得r＝5，
故（2x2+1）（）5＝（2x2+1）（﹣1）5的展开式中常数项是 2﹣＝9．
7.(2021•辽宁朝阳三模•T8．)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率是（ ）
A． B． C． D．
B．
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，
∴该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，
从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，
基本事件总数n＝＝36，
这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的基本事件个数为：
m＝+＝26，
则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率P＝＝＝．
8.(2021•辽宁朝阳三模•T6．)下列各项中，是（）6展开式中的项为（ ）
A．15 B．﹣20x2 C．15y4 D．﹣20
C．
（）6展开式的通项公式为Tr+1＝＝（﹣1）r，
由＝0且＝0，此时r无解，故展开式中没有常数项，故A错误；
由＝2且＝0，此时r无解，故展开式中不含x2项，故B错误；
由＝0且＝4，此时r＝2，故T3＝（﹣1）2y4＝15y4，故C正确；
由＝0且＝，此时r无解，故展开式中不含项，故D错误．
9.(2021•湖南三模•T9．)在（3x﹣）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ）
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为﹣135 D．常数项为135
ABD．
（3x﹣）n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为 2n+2n＝128，∴n＝6，故二项式系数和为26＝64，二项式系数和之和为 2n＝26＝64，故A、B正确；
故展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•36﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，
故常数项为•32＝135，故D正确．
10.(2021•福建宁德三模•T7)《周髀算经》是中国最古老的天文学、数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给右图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为( )
A. 36 B. 48 C. 72 D. 96
C．
根据题意，分2步进行分析：
①对于区域ABE，三个区域两两相邻，有A43=24种涂色的方法，
②对于区域CD，若C区域与A颜色相同，D区域有2种选法，
若C区域与A颜色不同，则C区域有1种选法，D区域也只有1种选法，
则区域CD有2+1=3种涂色的方法，
则有24×3=72种涂色的方法，
故选：C.
根据题意，分2步依次分析区域ABE和区域CD的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案。
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题。
11.(2021•安徽宿州三模•理T6．)新冠肺炎疫情防控期间，按照宿州市疫情防控应急指挥部的要求，市教育体育局对各市直学校下发了有关疫情防控通知．某学校按市局通知要求，制定了错峰放学，错峰吃饭的具体防疫措施．高三年级一层楼有A、B、C、D、E、F六个班排队吃饭，A班必须排在第一位，且D班、E班不能排在一起，则这六个班排队吃饭的不同方案共有（ ）
A．20种 B．56种 C．72种 D．40种
C．
根据题意，A班必须排在第一位，剩下5个班级安排在后面的5个位置即可，
分2步进行分析：
①将BCF三个班级全排列，排好后有4个空位，有A33＝6种排法，
②在4个空位中选出2个，安排D班、E班，有A42＝12种排法，
则有6×12＝72种不同的方案．
12.(2021•安徽宿州三模•理T7．)（x+2y）（2x+y）5的展开式中x3y3项的系数为（ ）
A．80 B．160 C．200 D．240
C．
（x+2y）（2x+y）5＝（x+2y）（（2x）5+•（2x）4y+•（2x）3y2+•（2x）2y3+•（2x）•y4+•y5），
故展开式中x3y3项的系数为•22+2•23＝200．
13.(2021•安徽马鞍山三模•理T6．)的常数项为25，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
D．
（2x﹣1）6的展开式的通项公式为Tr+1＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣r，
所以的常数项为（﹣1）5•2•a+（﹣1）6•20＝﹣12a+1＝25，
解得a＝﹣2．
14.(2021•河北邯郸二模•理T6．)（x2﹣x）（1+x）6的展开式中x3项的系数为（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣21 D．21
A．
因为根据（1+x）6展开式的通项Tr+1＝，
所以（x2﹣x）（1+x）6的展开式中x3项为＝﹣9x3，
所以含x3项的系数﹣9．
15.(2021•河北秦皇岛二模•理T10．)已知（2﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则下列选项正确的是（ ）
A．a3＝﹣360
B．（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2＝1
C．a1+a2+…+a6＝（2﹣）6
D．展开式中系数最大的为a2
BD．
令x＝0得a0＝26，
令x＝1得a0+a1+a2+…+a6＝（2﹣）6，
则a1+a2+…+a6＝（2﹣）6﹣26，故C错误，
令x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝（2+）6，
则（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2＝（a0+a1+a2+…+a6）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6）＝（2﹣）6（2+）6＝[（2﹣）（2+）]6＝1，故B正确，
a3＝23（）3＝﹣480，故A错误，
展开式中偶数项系数为负值，奇数项系数为正值，
则系数最大的在a0，a2，a4，a6中，
展开式的通项公式Tk+1＝26﹣k（x）k，
则a2＝720，a4＝540，a6＝27，
则系数最大的为a2．
16.(2021•辽宁朝阳二模•T6．)今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（ ）
A．15 B．30 C．6 D．9
D．
根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，
则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，
则恰好选出1药1方的方法种数为3×3＝9．
17.(2021•山东潍坊二模•T4．)2021年是中国共产党百年华诞．某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）
A．14 B．48 C．72 D．120
D．
根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，
在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有A53＝60种安排方法，
则有2×60＝120种不同的安排方法．
18.(2021•浙江丽水湖州衢州二模•T8．)某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（ ）
A．90 B．216 C．144 D．240
B．
根据题意，分2步进行分析：
①将5位医生分为4组，要求甲乙不在同一组，有C52﹣1＝9种分组方法，
②将分好的4组安排到4所医院支援抗疫，有A44＝24种安排方法，
则有9×24＝216种安排种数．
二、填空题部分
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