天津市新四区示范校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题（含答案）

天津市新四区示范校高一年级2019-2020学年度第一学期期末联考 （数学） 一、单项选择题（5/45） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合补集与并集运算求解即可. 【详解】解：因为， 所以 所以. 故选：C 2. 下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质及幂函数的单调性逐一分析即可. 【详解】对于A，因为不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号不变，所以由得，故A结论错误； 对于B，因为在上单调递增，所以由可得，故B结论正确； 对于C，因为，所以，由于不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不变，所以，即，故C结论正确； 对于D，因为，由不等式的正数可平方性可得，即，故D结论正确. 故选：A. 3. 半径为2的扇形，其周长为12，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形弧长公式列方程组即可求解. 【详解】不妨设扇形的弧长为，所对的圆心角的弧度数为， 则有，即，解得， 所以该扇形圆心角的弧度数为4. 故选：D. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则，，解得，即函数的定义域， 由题意，令，，则， 易知在其定义域上单调递减，要求函数的单调递减区间，需求在上二次函数的递增区间， 由，则在上二次函数的递增区间为， 故选：C. 5. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可得，利用指数幂运算可知，再利用幂函数的单调性可得，由此得解. 【详解】因为在上单调递减，所以，即， 因为在上单调递增， 又，即，所以，即，故， 所以. 故选：A. 6. 下列命题中正确的个数是（ ） ①命题“”的否定是“” ②函数的零点所在区间是 ③若，则 ④命题，命题，命题是命题的充要条件 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据特称命题的否定格式进行判断；②根据函数零点的存在性定理判断；③根据三角函数和角的正切公式进行展开计算；④根据命题充分条件和必要条件的性质判断. 【详解】对于①，根据特称命题否定格式可知①正确； 对于②，，，根据零点存在性定理可知②正确; 对于③，，展开可得，故③错误. 对于④，充分性证明，当，则，充分性成立；必要性证明，，，必要性不成立，故命题是命题的充分不必要条件，故④错误. 故选:B 7. 已知函数（其中）图像相邻两条对称轴的距离为，一个对称中心为，为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质得，再根据平移变换求解即可. 【详解】解：由题设，所以， 所以，， 因为一个对称中心为，且， 所以，将代入可得，解得, 所以，, 所以，函数的图像向右平移个单位可得到的图像. 故选：C 8. 对于满足等式任意正数及任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的用法得，再将问题转化为，对任意实数恒成立，再结合二次函数性质求最值即可. 【详解】解：因为任意正数满足等式， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为任意实数，不等式恒成立， 所以，对任意实数恒成立， 因为时，，当且仅当时等号成立， 所以，，即实数的取值范围为. 故选：B 9. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出的零点，数形结合求出方程有三个根的a的取值范围作答. 【详解】由得：或，因函数，由解得， 因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根， 函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点， 观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 二、填空题（6/30） 10. 已知幂函数的图象过点（2，），则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数所过的点求的解析式，进而求即可. 【详解】由题设，若，则，可得， ∴，故. 故答案为： 11. 已知函数，则的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，再解不等式即可得答案. 【详解】解：要使函数有意义，则需满足， 解不等式得， 所以，函数的定义域是 故答案为： 12. 已知函数，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数幂的性质及诱导公式得到，从而得解. 【详解】因为，易得定义域为， 所以， 故，即， 所以. 故答案为：. 13. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合齐次式求值即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 故答案： 14. 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的固定成本为500万元，生产台还需生产成本万元，（万元），每台设备售价为万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备都能卖完，则该企业在这一电子设备的生产中所获利润的最大值为_______万元. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设生产台的利润为，进而得，，再根据基本不等式求解即可. 【详解】解：设生产台的利润为，则， 整理得，， 根据基本不等式，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 所以该企业在这一电子设备的生产中所获利润的最大值为万元. 故答案为; 15. 已知函数，若在区间上有两个不同的使得，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合的范围及正弦函数的性质，求出的取值范围． 【详解】解： 因为在区间上有两个不同的使得， 所以，方程在区间有两个不同的实数根， 因为，， 所以，函数在上有两个不同的实数根， 所以，结合正弦函数图像，有，解得， 所以，的取值范围是 故答案为： 三、解答题（15/75） 16. 已知集合 （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先解绝对值不等式化简集合，解二次不等式化简集合，再利用集合的交并补运算与包含关系，结合数轴法即可求得所求. 【小问1详解】 由得，则，故， 由得， 又因为，所以，故， 当时，， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以由数轴法，得，解得，故，即. 【小问3详解】 因为，所以由数轴法得或， 得或，即. 17. 求下列各式的值 （1） （2） （3）已知都是锐角，，求的值． 【答案】（1） （2）-1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算法则计算即可; （2）根据对数运算法则计算即可； （3）根据公式先得出和的值，再通过角的配凑得出，最后用三角函数恒等变换公式解出. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 都是锐角，，所以； 为锐角，， 所以， ． 18. 已知函数 （1）求的值； （2）求的最小正周期和单调递增区间； （3）求在上的最值． 【答案】（1） （2）最小正周期为，单调递增区间为； （3）． 【解析】 【分析】（1）直接计算即可； （2）根据三角恒等变换得，再根据三角函数的性质求解即可； （3）结合（2）知的单调递减区间为，进而得在上的单调区间，再根据单调性求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以 【小问2详解】 解： ， 所以的最小正周期为， 令， 解得，.即， 所以，的单调递增区间为； 【小问3详解】 解：由（2）知，的单调递增区间为，最小正周期为， 所以的单调递减区间为， 又， 所以，在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以，． 19. 已知函数 （1）设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式； （2）已知集合 ①求集合； ②当时，函数的最小值为，求实数的值． 【答案】（1） （2）①；②的值为或5 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可； （2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案； ②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可. 【小问1详解】 解：根据题意，当时，， 当时，，则， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 所以， 【小问2详解】 解：①，即 所以， 所以，，解得 所以， ② 由①可得 所以，函数等价转化为，， 下面分三种情况讨论求解： 当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍； 当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意； 当，即时，，解得或（舍） 综上：的值为或5 20. 已知函数 （1）求函数的值域； （2）判断函数在其定义域上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； （3）是否存在正数，使得不等式对任意的及任意的锐角都成立，若存在，求出正数的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）在上是增函数，证明见解析 （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）化简得，利用指数函数的单调性得到的值域即可. （2）利用单调性定义法进行证明即可. （3）利用的单调性， 得到， 化简得到，利用不等式恒成立的条件， 问题转化为求 ， 进而问题转化为，最后利用三角函数的恒等变换即可得证. 【小问1详解】 定义域为， ， ∵，∴，∴∴， ∴的值域为； 【小问2详解】 在上是增函数， 证明：且， ， ∵∴又； ∴，∴，∴在上是增函数； 【小问3详解】 由（2）知在上是增函数，则， ， ∵，∴又，∴， 则， 当且仅当即时取“=”， 则， 该不等式对任意锐角都成立，则， 令，则 ， 在上单调递减， 则， ∴，又，则∴， ∴正数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：本题使用不等式恒成立问题的两种方法：1.分离参数法；2.最值分析法； 本题通过分离参数得到，再次通过分离参数，得到，最后，利用最值分析法求证成立 第17页/共17页 学科网（北京）股份有限公司