2023届山东省潍坊市高三10月优生抽测数学试题

保密★启用前 2022—2023学年高三阶段性监测 数 学 2022．10 本试卷分第1卷和第11卷两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4. 函数的单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】D 5. 已知为正实数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 8. 设函数，若函数的图象与轴所围成的封闭图形被直线分为面积相等的两部分，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 10. 设集合，若，，，则运算可能是（ ） A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法 【答案】AC 11. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 为奇函数 C. 函数有个不同的零点 D. 【答案】ABC 12. 已知函数和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数，若，则_______． 【答案】9 14. 关于的方程的两根之差的绝对值不大于2，则实数的最大值与最小值的和为________． 【答案】4 15. 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围为_________． 【答案】 16. 若对于任意的x，．不等式恒成立，则b的取值范围为______． 【答案】 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设全集为，不等式的解集为，函数的定义域为集合，其中． （1）当时，求; （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出解集合，再求两集合的并集， （2）分，两种情况求出集合，可求出，再由知，可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 由，得，解得， 所以， 当时，， 由，得或， 所以或， 所以或， 【小问2详解】 由知， ， 当时，，则或， 所以， 所以，所以 当时，，则或， 所以，显然不存在满足条件的m值 综上，实数m的取值范围为. 18. 已知函数为奇函数． （1）若在恒成立，求实数的取值范围; （2）过点且与曲线相切的直线为与轴、轴分别交于点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数可得，求导，利用导数求出函数在上的最大值，在恒成立，即在恒成立，从而可得出答案； （2）易得点在曲线的图象上，分为切点和不为切点两种情况讨论，根据导数的几何意义求出切线方程，从而可得出答案. 【小问1详解】 解：因为为奇函数， 所以，即， 解得：，所以， ，令，得：或， 列表得： x 2 0 + 极小值 5 由上表知，， 由在恒成立， 得，解得或； 【小问2详解】 解：因为，所以点在曲线上， 当A为切点时，，切线l的方程为， 所以，，； 当A不是切点时，设切点坐标， ， 整理得：，解得：或（舍去）， 所以，切线l的方程为， 所以，，， 综上，的面积为或. 19. 某企业为响应国家号召，研发出一款特殊产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一台该产品需另投入450元．设该企业一年内生产该产品万台并委托一家销售公司全部售完．根据销售合同，时，销售公司按零售价支付货款给企业;时，销售公司按批发价支付货款给企业．已知每万台产品的销售收入为万元，满足:． （1）写出年利润(单位:万元)关于年产量(单位:万台)的函数关系式;（利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本) （2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大?并求出此时的最大利润． 【答案】（1） ; （2）当年产量为30万台时，该企业获利最大，且此时的最大利润为2270万元 【解析】 【分析】（1）根据利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本，分和两种情况写出函数解析式，可得答案； （2）计算时销售收入说明企业亏损，则判断最大获利一定在时取得，利用基本不等式可求得答案. 【小问1详解】 当时，， 当时， ， 所以，; 【小问2详解】 当时，, 令，则转化为， 则，当时，，在上单调递增， 的最大值为，即当时，取得最大值4万元， 此时销售收入远小于投入，企业亏损，所以最大获利一定在时取得， 此时 ， 当且仅当，即（负值舍去）时等号成立， 此时取得最大值，且最大值2270（万元）， 所以，当年产量为30万台时，该企业获利最大，且此时的最大利润为2270万元． 20. 定义:若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数． （1）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围; （2）在（1）的条件下，若图象上两个点的横坐标是函数的不动点，且的中点在函数的图象上，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由有两个不相等的实数根，结合判别式以及一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得的取值范围. （2）先设出的坐标，求得的坐标并代入的解析式，利用根与系数关系列方程，结合二次函数的性质求得的最小值. 【小问1详解】 令，则①， 由题意，方程①恒有两个不相等的实数根，所以， 即恒成立，则，解得． 【小问2详解】 依题意图象上两个点的横坐标是函数的不动点， 设，，，， 又AB的中点在该直线上，所以， ∴，而应是方程①的两个根，所以， 即，∴， ∴当时，. 21. 已知为偶函数，为奇函数，且满足. （1）若方程有解，求实数m的取值范围； （2）若，且方程有三个解，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合函数奇偶性将代入条件中可得，即可求得，的解析式，代入方程中，可得，设，换元可得，分别讨论和，结合二次函数性质即可求解； （2）由（1），将，的解析式代入，作出的图象，整理方程为，结合图象有两个不等的实根，则需满足有且只有一个根，根据图象即可求解. 【小问1详解】 因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，即，所以，，解得， 由可得， 令，当且仅当时，等号成立，则，故有，其中， 令，其中，则函数在上有零点， ①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，不合乎题意； ②当时，即当时，则有，解得，此时函数在上有零点. 综上所述，实数m的取值范围是； 小问2详解】 ，作出函数的图象如图所示： 由可得， 由图可知，方程有两个不等的实根，由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或. 因此，实数k的取值范围是. 22. 已知函数，其中为常数．曲线过点，曲线关于点中心对称． （1）求的值; （2）记． （i）讨论在区间上的单调性; （ii）若存在两个极值点，且，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）（i）答案见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合分式函数的对称中心求解即可； （2）（i）求导可得，再分与两种情况讨论即可； （ii）由（ⅰ）知，，且，是方程的两根，进而结合韦达定理化简可得，再令，，再求导分与两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，又的对称中心为， 所以，故 【小问2详解】 由（1）知， ，因为， 所以当，即时，恒成立，则函数在区间上单调递增． 当时，由，得， 当时，，当时， 则函数在区间单调递减，在单调递增． （ⅱ）由（ⅰ）知，时才可能出现两个极值点，， 且，是方程的两根，则，． 而 ， 令，， 当时，，此时，， 所以函数在上单调递减， 则，即不符合题意； 当时，，此时， ，所以函数在上单调递减， 则，即成立， 即成立，综上所述，的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，需要根据求导后的解析式，根据导函数中的关键部分的正负临界情况确定参数分类讨论的依据，同时也考查了利用韦达定理确定两极值点的关系化简分析的方法、构造函数分析求解参数范围等.属于难题.