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2022—2023学年高三阶段性监测
数 学
2022.10
本试卷分第1卷和第11卷两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第I卷(选择题,共60分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
2. 命题“,”的否定是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
3. 函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
4. 函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
【答案】D
5. 已知为正实数,且,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
6. 祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设、为两个同高的几何体,、的体积不相等,、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知,是的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
7. 已知函数,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
8. 设函数,若函数的图象与轴所围成的封闭图形被直线分为面积相等的两部分,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 设,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
10. 设集合,若,,,则运算可能是( )
A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法
【答案】AC
11. 设函数的定义域为,且满足,,当时,,则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数 B. 为奇函数
C. 函数有个不同的零点 D.
【答案】ABC
12. 已知函数和,若,则( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知函数,若,则_______.
【答案】9
14. 关于的方程的两根之差的绝对值不大于2,则实数的最大值与最小值的和为________.
【答案】4
15. 已知函数,其中是自然对数的底数,若,则实数的取值范围为_________.
【答案】
16. 若对于任意的x,.不等式恒成立,则b的取值范围为______.
【答案】
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集为,不等式的解集为,函数的定义域为集合,其中.
(1)当时,求;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】(1)先求出解集合,再求两集合的并集,
(2)分,两种情况求出集合,可求出,再由知,可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由,得,解得,
所以,
当时,,
由,得或,
所以或,
所以或,
【小问2详解】
由知,
,
当时,,则或,
所以,
所以,所以
当时,,则或,
所以,显然不存在满足条件的m值
综上,实数m的取值范围为.
18. 已知函数为奇函数.
(1)若在恒成立,求实数的取值范围;
(2)过点且与曲线相切的直线为与轴、轴分别交于点,为坐标原点,求的面积.
【答案】(1)或
(2)或
【解析】
【分析】(1)由函数为奇函数可得,求导,利用导数求出函数在上的最大值,在恒成立,即在恒成立,从而可得出答案;
(2)易得点在曲线的图象上,分为切点和不为切点两种情况讨论,根据导数的几何意义求出切线方程,从而可得出答案.
【小问1详解】
解:因为为奇函数,
所以,即,
解得:,所以,
,令,得:或,
列表得:
x
2
0
+
极小值
5
由上表知,,
由在恒成立,
得,解得或;
【小问2详解】
解:因为,所以点在曲线上,
当A为切点时,,切线l的方程为,
所以,,;
当A不是切点时,设切点坐标,
,
整理得:,解得:或(舍去),
所以,切线l的方程为,
所以,,,
综上,的面积为或.
19. 某企业为响应国家号召,研发出一款特殊产品,计划生产投入市场.已知该产品的固定研发成本为180万元,此外,每生产一台该产品需另投入450元.设该企业一年内生产该产品万台并委托一家销售公司全部售完.根据销售合同,时,销售公司按零售价支付货款给企业;时,销售公司按批发价支付货款给企业.已知每万台产品的销售收入为万元,满足:.
(1)写出年利润(单位:万元)关于年产量(单位:万台)的函数关系式;(利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本)
(2)当年产量为多少万台时,该企业的获利最大?并求出此时的最大利润.
【答案】(1) ;
(2)当年产量为30万台时,该企业获利最大,且此时的最大利润为2270万元
【解析】
【分析】(1)根据利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本,分和两种情况写出函数解析式,可得答案;
(2)计算时销售收入说明企业亏损,则判断最大获利一定在时取得,利用基本不等式可求得答案.
【小问1详解】
当时,,
当时,
,
所以,;
【小问2详解】
当时,,
令,则转化为,
则,当时,,在上单调递增,
的最大值为,即当时,取得最大值4万元,
此时销售收入远小于投入,企业亏损,所以最大获利一定在时取得,
此时
,
当且仅当,即(负值舍去)时等号成立,
此时取得最大值,且最大值2270(万元),
所以,当年产量为30万台时,该企业获利最大,且此时的最大利润为2270万元.
20. 定义:若函数对于其定义域内的某一数,有,则称是的一个不动点.已知函数.
(1)若对任意的实数,函数恒有两个不动点,求的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若图象上两个点的横坐标是函数的不动点,且的中点在函数的图象上,求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由有两个不相等的实数根,结合判别式以及一元二次不等式恒成立列不等式,从而求得的取值范围.
(2)先设出的坐标,求得的坐标并代入的解析式,利用根与系数关系列方程,结合二次函数的性质求得的最小值.
【小问1详解】
令,则①,
由题意,方程①恒有两个不相等的实数根,所以,
即恒成立,则,解得.
【小问2详解】
依题意图象上两个点的横坐标是函数的不动点,
设,,,,
又AB的中点在该直线上,所以,
∴,而应是方程①的两个根,所以,
即,∴,
∴当时,.
21. 已知为偶函数,为奇函数,且满足.
(1)若方程有解,求实数m的取值范围;
(2)若,且方程有三个解,求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)结合函数奇偶性将代入条件中可得,即可求得,的解析式,代入方程中,可得,设,换元可得,分别讨论和,结合二次函数性质即可求解;
(2)由(1),将,的解析式代入,作出的图象,整理方程为,结合图象有两个不等的实根,则需满足有且只有一个根,根据图象即可求解.
【小问1详解】
因为为偶函数,为奇函数,由已知可得,即,所以,,解得,
由可得,
令,当且仅当时,等号成立,则,故有,其中,
令,其中,则函数在上有零点,
①当时,即当时,则在上单调递增,所以,,不合乎题意;
②当时,即当时,则有,解得,此时函数在上有零点.
综上所述,实数m的取值范围是;
小问2详解】
,作出函数的图象如图所示:
由可得,
由图可知,方程有两个不等的实根,由题意可知,方程有且只有一个根,故或,解得或.
因此,实数k的取值范围是.
22. 已知函数,其中为常数.曲线过点,曲线关于点中心对称.
(1)求的值;
(2)记.
(i)讨论在区间上的单调性;
(ii)若存在两个极值点,且,求的取值范围.
【答案】(1),
(2)(i)答案见解析;(ii)
【解析】
【分析】(1)根据题意可得,结合分式函数的对称中心求解即可;
(2)(i)求导可得,再分与两种情况讨论即可;
(ii)由(ⅰ)知,,且,是方程的两根,进而结合韦达定理化简可得,再令,,再求导分与两种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
由题意知,,又的对称中心为,
所以,故
【小问2详解】
由(1)知,
,因为,
所以当,即时,恒成立,则函数在区间上单调递增.
当时,由,得,
当时,,当时,
则函数在区间单调递减,在单调递增.
(ⅱ)由(ⅰ)知,时才可能出现两个极值点,,
且,是方程的两根,则,.
而
,
令,,
当时,,此时,,
所以函数在上单调递减,
则,即不符合题意;
当时,,此时,
,所以函数在上单调递减,
则,即成立,
即成立,综上所述,的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,需要根据求导后的解析式,根据导函数中的关键部分的正负临界情况确定参数分类讨论的依据,同时也考查了利用韦达定理确定两极值点的关系化简分析的方法、构造函数分析求解参数范围等.属于难题.
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