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中考数学压轴题全面突破之二•函数与几何综合
处理原则
坐标系中处理问题的原则:作横平竖直的线.
函数与几何综合类问题的处理原则:
①研究函数表达式、关键点坐标;
②坐标转线段长,分析几何特征;
③借助几何特征或函数特征建等式.
难点拆解
处理函数与几何综合问题需注意挖掘隐含信息和几何特征.
①隐含信息主要指由表达式、坐标而找到的特殊角或特殊图形(如边长比为1::2的直角三角形);
②几何特征的挖掘通常从图形中的几何模型(相似、奶站等)、关键点构成的图形以及构造横平竖直的线等方面来考虑.
处理函数与几何综合类问题的过程中,优先寻找题中的几何模型(如A型相似、X型相似),借助模型表达线段长;若无模型,考虑转化表达或构造模型.
(2011福建福州)如图,已知二次函数错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。图象的顶点为H,与x轴交于A,B两点(点B在点A右侧),点H,B关于直线l:错误!未找到引用源。对称.
(1)求A,B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH,交直线l于点K,M,N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN,NM,MK,求HN+NM+MK的最小值.
(2012山西改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线错误!未找到引用源。与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B,D两点的坐标.
(2)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,并求出此时点M的坐标.
(2008福建莆田)如图,抛物线经过A(﹣3,0),B(0,4),C(4,0)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时,另一动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值.
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(2011四川乐山)已知顶点为A(1,5)的抛物线错误!未找到引用源。 经过点B(5,1).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点,求四边形ABCD周长的最小值.
(3)在(2)中,当四边形ABCD的周长最小时,作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点,Q是OP的中点,以PQ为斜边,按图2所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PRQ与直线CD有公共点时,求x的取值范围;
②在①的条件下,记△PRQ与△COD重叠部分的面积为S,求S关于x的函数关系式,并求S的最大值.
图一
图二
(2003湖北黄冈改编)已知二次函数的图象如图所示.
(1)求二次函数的解析式及抛物线的顶点M的坐标.
(2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B,点M重合),设OQ的长为t,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围.
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)将△OAC补成矩形,使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,且第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试求出矩形未知顶点的坐标.
(2012四川南充)如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4, tan∠AOB=错误!未找到引用源。,抛物线错误!未找到引用源。过点A(4,0)与点(﹣2,6).
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)直线m与⊙C相切于点A,交y轴于点D.动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动.点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值.
(3)点R在x轴下方部分的抛物线上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标.
(2012湖北荆门)如图,四边形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A,D,交y轴于点E,连接AB,AE,BE.已知tan∠CBE= 错误!未找到引用源。,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标.
(2)求证:CB是△ABE外接圆的切线.
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D,E,P为顶点的三角形与△ABE相似.若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0 0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过B,D两点.
(1)求点A的坐标(用含m的代数式表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F,试证明:FC(AC+EC)为定值.
(2012浙江衢州)如图,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中,使直角边OB,OD在x轴上.已知点A(1,2),过A,C两点的直线分别交x轴、y轴于点E,F.抛物线错误!未找到引用源。经过O,A,C三点.
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)点P为线段OC上一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移过程中与△COD重叠部分的面积记为S.试探究S是否存在最大值.若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
函数与几何综合
(1),证明略.
(2).(3)8.
(1)直线AC的解析式为y=3x+3,.
(2).
(1).(2).(3)存在,.
(1).(2).
(3)①;
②当时,;
当时,.
当时,.
(1).
(2) .
(3)存在,.
(4)矩形未知顶点的坐标为.
(1);
(2);
(3).
(1),B(1,4);
(2)证明略;
(3);
(4).
(1).
(2)证明略,此时直线BD的解析式为.
(3)①;②结论依然成立,证明略.
(1)A(3-m,0);
(2);
(3)FC(AC+EC)=8,证明略.
(1);
(2)存在,;
(3)S存在最大值,最大值为.
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