高中数学 1课时 三角形中的有关问题练习题 北版必修5

高二数学 第1课时 三角形中的有关问题 考纲导读 （一）正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 (二) 应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 知识网络 高考导航 正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 基础过关 第1课时 三角形中的有关问题 1．正弦定理： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： ⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角； ⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角． 2．余弦定理： 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题． ⑴ 已知三边，求三角； ⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角． 3．三角形的面积公式： 典型例题 例1. 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c． 解 A1＝60° C1＝75° c1＝ A2＝120° C2＝15° c2＝ 变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则 （ ） A． B． C． D． 解：B 提示：利用余弦定理 （2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ） A. B. C. D. 解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解 （3）在△ABC中，已知，，则的值为（ ） A B C 或 D 解：A 提示:在△ABC中，由 知角B为锐角 （4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是 ． 解： 提示：由可得 （5）在△ABC中，= ． 解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得 解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. 例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C． 解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0， 所以sinB(sinA－cosA)＝0 ∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(－B)＝0 cos＝(－2B)＝cos[2π－(＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B 得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝ ∴A＝ B＝ C＝ 变式训练3：已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为. （1）求∠C； （2）求△ABC面积的最大值. 解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得 2（－）=（a－b）. 又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==. 又∵0°＜C＜180°，∴C=60°. （2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A） =2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A =sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+. ∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=. 例4. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝()． (1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数； (2)求y＝的最大值与最小值． 解 (1) AG＝，∠ 由正弦定理得， A N C B D M G （ ， (2) ∵∴当 当 变式训练4：在在△ABC中，所对的边分别为，，且 （1）求的值； （2）若，求的最大值； 解：（1）因为，故 （2） 又，当且仅当时， 故的最大值是 小结归纳 小结归纳 1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意． 2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择． 3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题 高一数学测试题 一 选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1．设集合≤x≤0},B={x|-1≤x≤3},则A∩B=（ ） A．［-1,0］ B．［-3,3］ C．［0,3］ D．［-3,-1］ 2.下列图像表示函数图像的是（ ） A B C D 3. 函数的定义域为（ ） A．(－5，＋∞) B．［－5，＋∞ C．(－5，0) D ．(－2，0) 4. 已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5.函数的实数解落在的区间是（ ） 6.已知则线段的垂直平分线的方程是（ ） 7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，P为△ABC所在平面外一点 PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形。 A 4 B 3 C 2 D 1 9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（　　） A B C D 10 .在圆上，与直线的距离最小的点的坐标为（ ） 二 填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分 11.设，则的中点到点的距离为 . 12. 如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm）， 则此几何体的表面积是 . 13.设函数在R上是减函数，则的 范围是 . 14.已知点到直线距离为， 则= . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. （本小题满分10分） 求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程（一般式）. 16. （本小题满分14分） 如图，的中点. （1）求证：；（2）求证：； 17. （本小题满分14分） 已知函数（14分） （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并证明； 18. （本小题满分14分） 当，函数为，经过（2，6），当时为，且过（-2，-2）， （1）求的解析式； （2）求； （3）作出的图像，标出零点。 19. （本小题满分14分） 已知圆：， （1）求过点的圆的切线方程；（2）点为圆上任意一点，求的最值。 20.（本小题满分14分） 某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图，每月各种开支2000元， （1） 写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系。 （2） 该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？ （3） 当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。 答案 一选择（每题5分） 1-5 A C A C B 6-10 B D A B C 二填空（每题5分） 11. 12. 13. 14. 1或-3 三解答题 15.（10分） 16.（14分） （1）取 ………………1分 为中点， （2） 17.（14分） （1）由对数定义有 0，……………（2分） 则有 （2）对定义域内的任何一个，………………1分 都有， 则为奇函数…4分 18.14分 （1）………………………….6分 （2） ………………………………3分 （3）图略……………3分. 零点0，-1……………………2分 19.14分 （1）设圆心C，由已知C(2,3) , ………………1分 AC所在直线斜率为， ……………………2分 则切线斜率为，………………………1分 则切线方程为。 ……………………… 2分 （2）可以看成是原点O(0,0)与连线的斜率，则过原点与圆相切的直线的斜率为所求。………………………1分 圆心（2，3），半径1，设=k，……………1分 则直线为圆的切线，有，………………2分 解得，………………2分 所以的最大值为，最小值为 ………………2分 20.14分 （1） ……………………4分 （2）当时，……………1分 即，解得，故; …………………2分 当时， …………………1分 即，解得，故。…………………2分 所以 （4） 每件19.5元时，余额最大，为450元。……………………4分 11