中考数学专题复习讲座 十三讲 反比例函数

2013年中考数学专题复习第十三讲 反比例函数 【基础知识回顾】 一、 反比例函数的概念： 一般地：互数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数 【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0 2、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0） 3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于 】 二、反比例函数的同象和性质： 1、反比例函数y=（k≠0）的同象是 它有两个分支，关于 对称 2、反比例函数y=（k≠0）当k>0时它的同象位于 象限，在每一个象限内y随x的增大而 当k<0时，它的同象位于 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 【名师提醒：1、在反比例函数y=中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴 2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】 3、反比例函数中比例系数k的几何意义： 反曲线y=（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线 → 两线与坐标轴围成的形面积 ，即如图： AOBP= S△AOP= 【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】 三、反比例函数解析式的确定 因为反比例函数y=（k≠0）中只有一个被定系数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法 一、 反比例函数的应用 二、 解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的 【重点考点例析】 考点一：反比例函数的同象和性质 例1 （2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数 在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象． 解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=过一、三象限； 当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=过二、四象限； 故选C． 点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存． 例2 （2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数 图象的两个分支分别在（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答． 解：a2-a+2， =a2-a+-+2， =（a-）2+7 4 ， ∵（a-）2≥0， ∴（a-）2+7 4 ＞0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． 故选A． 点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数（k≠0）：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 例3 （2012•台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答． 解：∵函数中k=6＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵-1＜0， ∴点（-1，y1）在第三象限， ∴y1＜0， ∵0＜2＜3， ∴（2，y2），（3，y3）在第一象限， ∴y2＞y3＞0， ∴y2＞y3＞y1． 故选D． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键． 对应训练 1．（2012•毕节地区）一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中是（　　） A． B． C． D． 1．C 2．（2012•内江）函数的图象在（　　） A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限 2．A 2．解：∵中x≥0，中x≠0， 故x＞0，此时y＞0， 则函数在第一象限． 故选A． 3．（2012•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2． 3．＞ 考点二：反比例函数解析式的确定 例4 （2012•哈尔滨）如果反比例函数的图象经过点（-1，-2），则k的值是（　　） A．2 B．-2 C．-3 D．3 思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得 -2=，即2=k-1， 解得k=3． 故选D． 点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点． 对应训练 4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（　　） A． B． C． D． 4．D 4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式． 解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0， △=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0， 解得：b=-3或1． ∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大， ∴1+b＜0 ∴b＜-1， ∴b=-3． 则反比例函数的解析式是：y=，即． 故选D． 考点三：反比例函数k的几何意义 例5 （2012•铁岭）如图，点A在双曲线上， 点B在双曲线（k≠0）上，AB∥x轴， 分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为 D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值． 解：∵双曲线（k≠0）上在第一象限， ∴k＞0， 延长线段BA，交y轴于点E， ∵AB∥x轴， ∴AE⊥y轴， ∴四边形AEOD是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴S矩形AEOD=4， 同理S矩形OCBE=k， ∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8， ∴k=12． 故选A． 点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 对应训练 5．（2012•株洲）如图，直线x=t（t＞0）与 反比例函数的图象分别交于 B、C两点，A为y轴上的任意一点， 则△ABC的面积为（　　） A．3 B． C． D．不能确定 5．C 5．解：把x=t分别代入，得， 所以B（t，）、C（t，）， 所以BC=-（）=． ∵A为y轴上的任意一点， ∴点A到直线BC的距离为t， ∴△ABC的面积=． 故选C． 考点四：反比例函数与一次函数的综合运用 例6 （2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D， 连接AO、BO，下列说法正确的是（　　） A．点A和点B关于原点对称 B．当x＜1时，y1＞y2 C．S△AOC=S△BOD D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大 思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D． 解：A、， ∵把①代入②得：x+1=， 解得：x1=-2，x2=1， 代入①得：y1=-1，y2=2， ∴B（-2，-1），A（1，2）， ∴A、B不关于原点对称，故本选项错误； B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误； C、∵S△AOC=×1×2=1，S△BOD=×|-2|×|-1|=1， ∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确； D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误； 故选C． 点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目． 对应训练 6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1 C．x＞1 D．-2＜x＜1 6．A 6．解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2= (m≠0)的交点坐标为（1，4），（-2，-2）， 由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方， ∴当y1＞y2时x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1． 故选A． 【聚焦山东中考】 1．（2012•青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 1．A 1．解：∵反比例函数y=-3 x 中，k=-3＜0， ∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵x1＜x2＜0＜x3， ∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2， ∴y3＜y1＜y2． 故选A． 2．（2012•菏泽）反比例函数的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成立的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．不能确定 2．D 3．（2012•滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=中，y是x的反比例函数的有 （填序号）。 3．②⑤ 4．（