高中数学 2.2对数函数同步辅导 新人教A版必修1

第二节 对数函数 学点：探究与梳理 自主探究 探究问题1： 一个细胞经过一次分裂变成两个，经过二次分裂变成四个，经过多少次分裂后细胞的个数变为256个，如何求分裂次数呢？ 探究问题2： 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出残留污垢表示的漂洗次数的关系式，请写出关系式，计算若要使存留的污垢不超过原有的，则至少要漂洗几次？ 探究问题3：  已知一个驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到，在停止喝酒以后，血液中酒精含量就以每小时50℅的速度减少.为了保证交通安全，某地交通规则规定：驾驶员血液中的酒精含量不大于，问喝了少量酒的驾驶员至少过几小时后才能驾驶？ 重点把握 1.对数与指数的关系． 指数式与对数式的互化式：. 指数式与对数式的关系 式子 名称 指数式 底数 指数 冪值 对数式 底数 对数 真数 2.对数函数的定义域、值域. 求对数函数定义域要注意：对数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；自变量的取值应符合实际意义；对含有字母的式子要注意分类讨论；求出的定义域一定要写成集合（区间）的形式. 形如的求最大值与最小值问题，可令 ，则，进而转化为求二次函数的最大值、最小值. 3.对数函数与指数函数的关系. 对数函数且与指数函数且是互为反函数的两个函数，互为反函数的两个函数图象关于直线对称，其函数性质直接受底数的影响，所以分类讨论的思想体现的非常突出，同时两类函数值的变化情况，充分反映了函数的代数特征和几何特征.   题例：解析与点拨 例1 求函数的定义域. 解析：要使函数有意义，需，解得，所以原函数的定义域为. 点拨：求函数的定义域应注意：①分式的分母不为零．②偶次方根的被开方数大于或等于零．③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1．④零次幂的底数不为零．⑤已知函数的定义域为，求函数的定义域，只需．⑥已知函数的定义域，求函数的定义域，只需，即得值域. 变式训练1：已知函数的定义域为，求函数的定义域． 例2 已知，求（用含的式子表示）. 解析：因为，所以， ∴. 点拨：利用已知指数值或对数值表示所求式子，应熟练掌握所学指数、对数性质和法则，会进行指数式与对数式的互化，用对数的换底公式使对数底数相同，会进行数的变形. 变式训练2：已知，求. 例3 若函数在区间上是增函数，求的取值范围. 解析：令，因为函数在为减函数， ∴要使函数在区间上是增函数， 必有在区间上单调递减，且满足， 则，即，解得，∴的取值范围是. 点拨：①利用换元法解题时要注意新的变量的取值范围；②解对数函数得有关问题时一定要注意对数的真数为正；③求复合函数的单调性，当时，与在相同的区间上单调性相同；当时，与在相同的区间上单调性相反. 变式训练3：若函数的定义域为，求的取值范围； 若函数值域为，求的取值范围． 学业水平测试 巩固基础 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A 　　　　 B C 且 D 2．已知函数，则的大小关系为（ ） A B C D 3．已知，则的取值范围是（ ） A B C D 1 o y 1 x o 1 y 1 x o 1 y 1 x o 1 y 1 x A B C D 4．当时，在同一坐标系中，函数与的图像是（ ） 5．已知在上为减函数，则的取值范围是 . 6．方程的解是 . 能力提升 7．函数在上单调递减，那么在上（ ） A 单调递增且有最大值 B 单调递减且无最小值 C 单调递增且无最大值 D 单调递减且有最小值 8．计算（ ） A. B. C. 　　　　 D. 9．已知集合，定义在 上的函数且的最大值比最小值大 1，则底数 的值为（ ） A. B.　　　　 C. 　　　　 D. 或 10．已知函数是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是 . 11．已知函数，则的值为 . 拓展创新 12．设是方程的两个根，求的值. 13．已知函数，其中，若时，有意义，求的取值范围． 自主发展 设是定义在上的函数，且，若，，求． 第二章第二节参考答案： 自主探究： 1.经过8次分裂后细胞的个数变为256个；2 ．至少要漂洗3次；３．设喝酒小时后才能驾驶，在小时后，血液中的酒精含量为：，依题意得，∴，.大约2小时后才能驾驶. 变式训练： 1. 2. 3.① .② 学业水平测试： ，．，．或，．，． ．，．依题意，由一元二次方程的根与系数的关系得， ∴， ∴， ，，∴． ．当时，有意义，即当时，恒成立，即在恒成立，于是问题转化为求函数在的最大值，即当时，不等式恒成立. 又因为在上为增函数，∴当时，，则，∴的取值范围． 自主发展：∵是定义在上的函数，且，若，，∴， ，， ，， ，…，∴函数的周期为6， ∴． 高一数学测试题 一 选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1．设集合≤x≤0},B={x|-1≤x≤3},则A∩B=（ ） A．［-1,0］ B．［-3,3］ C．［0,3］ D．［-3,-1］ 2.下列图像表示函数图像的是（ ） A B C D 3. 函数的定义域为（ ） A．(－5，＋∞) B．［－5，＋∞ C．(－5，0) D ．(－2，0) 4. 已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5.函数的实数解落在的区间是（ ） 6.已知则线段的垂直平分线的方程是（ ） 7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，P为△ABC所在平面外一点 PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形。 A 4 B 3 C 2 D 1 9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（　　） A B C D 10 .在圆上，与直线的距离最小的点的坐标为（ ） 二 填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分 11.设，则的中点到点的距离为 . 12. 如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm）， 则此几何体的表面积是 . 13.设函数在R上是减函数，则的 范围是 . 14.已知点到直线距离为， 则= . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. （本小题满分10分） 求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程（一般式）. 16. （本小题满分14分） 如图，的中点. （1）求证：；（2）求证：； 17. （本小题满分14分） 已知函数（14分） （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并证明； 18. （本小题满分14分） 当，函数为，经过（2，6），当时为，且过（-2，-2）， （1）求的解析式； （2）求； （3）作出的图像，标出零点。 19. （本小题满分14分） 已知圆：， （1）求过点的圆的切线方程；（2）点为圆上任意一点，求的最值。 20.（本小题满分14分） 某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图，每月各种开支2000元， （1） 写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系。 （2） 该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？ （3） 当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。 答案 一选择（每题5分） 1-5 A C A C B 6-10 B D A B C 二填空（每题5分） 11. 12. 13. 14. 1或-3 三解答题 15.（10分） 16.（14分） （1）取 ………………1分 为中点， （2） 17.（14分） （1）由对数定义有 0，……………（2分） 则有 （2）对定义域内的任何一个，………………1分 都有， 则为奇函数…4分 18.14分 （1）………………………….6分 （2） ………………………………3分 （3）图略……………3分. 零点0，-1……………………2分 19.14分 （1）设圆心C，由已知C(2,3) , ………………1分 AC所在直线斜率为， ……………………2分 则切线斜率为，………………………1分 则切线方程为。 ……………………… 2分 （2）可以看成是原点O(0,0)与连线的斜率，则过原点与圆相切的直线的斜率为所求。………………………1分 圆心（2，3），半径1，设=k，……………1分 则直线为圆的切线，有，………………2分 解得，………………2分 所以的最大值为，最小值为 ………………2分 20.14分 （1） ……………………4分 （2）当时，……………1分 即，解得，故; …………………2分 当时， …………………1分 即，解得，故。…………………2分 所以 （4） 每件19.5元时，余额最大，为450元。……………………4分 12