高中数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》评估训练 新人教A版必修4

高中新课程数学（新课标人教A版）必修四《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》评估训练 双基达标　(限时20分钟) 1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝(　　)． A．5 B．4 C．－2 D．－1 解析　a·b＝1×2＋(－1)×3＝－1. 答案　D 2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，x)，a⊥b，则x＝(　　)． A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析　a⊥b⇔a·b＝0⇒－2＋x＝0⇒x＝2. 答案　D 3．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)． A. B. C. D. 解析　a·b＝3＋2＝5，|a|＝，|b|＝，设夹角为θ， 则cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案　B 4．已知A(－3,2)，B(0，－2)，则||＝________. 解析　∵＝(3，－4)． ∴||＝＝5. 答案　5 5．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值为________． 解析　＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)． ∵∠C＝90°，即⊥， ∴2(2－k)＋3×2＝0，k＝5. 答案　5 6．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)， ∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1. ∵a，b的夹角α为钝角． ∴即 ∴λ<1且λ≠－1， ∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 综合提高　(限时25分钟) 7．(2012·烟台高一检测)若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为(　　)． A. B. C. D. 解析　设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴a在b方向上的投影为|a|cos θ＝×＝. 答案　A 8．以下选项中，不一定是单位向量的有(　　)． ①a＝(cos θ，－sin θ)；②b＝(，)；③c＝(2x,2－x)； ④d＝(1－x，x)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝ ≥ ≠1， |d|＝＝＝ ≥.故选B. 答案　B 9．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A、B、C三点共线，则k＝________. 答案　－ 10．已知点A(2,3)，若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得到向量，则点B的坐标为________． 解析　设点B的坐标为(x，y)，因为⊥，||＝||， 所以 解得或(舍去)． 故B点的坐标为(－3,2)． 答案　(－3,2) 11．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b的夹角θ的余弦值； (2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值． 解　(1)|a|＝＝5，|b|＝＝. a·b＝－1×4＋3×2＝2， ∴cos θ＝＝＝. (2)a－λb＝(4,3)－(－λ，2λ)＝(4＋λ，3－2λ)． 2a＋b＝(8,6)＋(－1,2)＝(7,8)． 若(a－λb)⊥(2a＋b)， 则7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. 12．(创新拓展)已知点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标． 解　假设存在点C(0，y)使∠ACB＝90°，则⊥. ∵＝(－1，y－2)，＝(－4，y＋1)，⊥， ∴·＝4＋(y－2)(y＋1)＝0， ∴y2－y＋2＝0. 而在方程y2－y＋2＝0中，Δ<0， ∴方程无实数解，故不存在满足条件的点C. 高一数学测试题 一 选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1．设集合≤x≤0},B={x|-1≤x≤3},则A∩B=（ ） A．［-1,0］ B．［-3,3］ C．［0,3］ D．［-3,-1］ 2.下列图像表示函数图像的是（ ） A B C D 3. 函数的定义域为（ ） A．(－5，＋∞) B．［－5，＋∞ C．(－5，0) D ．(－2，0) 4. 已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5.函数的实数解落在的区间是（ ） 6.已知则线段的垂直平分线的方程是（ ） 7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，P为△ABC所在平面外一点 PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形。 A 4 B 3 C 2 D 1 9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（　　） A B C D 10 .在圆上，与直线的距离最小的点的坐标为（ ） 二 填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分 11.设，则的中点到点的距离为 . 12. 如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm）， 则此几何体的表面积是 . 13.设函数在R上是减函数，则的 范围是 . 14.已知点到直线距离为， 则= . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. （本小题满分10分） 求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程（一般式）. 16. （本小题满分14分） 如图，的中点. （1）求证：；（2）求证：； 17. （本小题满分14分） 已知函数（14分） （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并证明； 18. （本小题满分14分） 当，函数为，经过（2，6），当时为，且过（-2，-2）， （1）求的解析式； （2）求； （3）作出的图像，标出零点。 19. （本小题满分14分） 已知圆：， （1）求过点的圆的切线方程；（2）点为圆上任意一点，求的最值。 20.（本小题满分14分） 某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图，每月各种开支2000元， （1） 写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系。 （2） 该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？ （3） 当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。 答案 一选择（每题5分） 1-5 A C A C B 6-10 B D A B C 二填空（每题5分） 11. 12. 13. 14. 1或-3 三解答题 15.（10分） 16.（14分） （1）取 ………………1分 为中点， （2） 17.（14分） （1）由对数定义有 0，……………（2分） 则有 （2）对定义域内的任何一个，………………1分 都有， 则为奇函数…4分 18.14分 （1）………………………….6分 （2） ………………………………3分 （3）图略……………3分. 零点0，-1……………………2分 19.14分 （1）设圆心C，由已知C(2,3) , ………………1分 AC所在直线斜率为， ……………………2分 则切线斜率为，………………………1分 则切线方程为。 ……………………… 2分 （2）可以看成是原点O(0,0)与连线的斜率，则过原点与圆相切的直线的斜率为所求。………………………1分 圆心（2，3），半径1，设=k，……………1分 则直线为圆的切线，有，………………2分 解得，………………2分 所以的最大值为，最小值为 ………………2分 20.14分 （1） ……………………4分 （2）当时，……………1分 即，解得，故; …………………2分 当时， …………………1分 即，解得，故。…………………2分 所以 （4） 每件19.5元时，余额最大，为450元。……………………4分 9