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锐角三角函数练习
一、选择题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则cosB的值是( )
A. 34 B. 35 C. 45 D. 43
2. 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则∠A的正切值为( )
A. 43 B. 45 C. 54 D. 34
3. 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为( )
A. 355 B. 175 C. 35 D. 45
4. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为( )
A. 8 B. 12 C. 63 D. 123
5. △ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是( )
A. sinα=cosα B. tanC=2 C. sinβ=cosβ D. tanα=1
6. 在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=5，那么下列结论正确的是( )
A. sinA=34 B. cosA=45 C. cotA=54 D. tanA=43
7. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y=-1x(x<0)，y=4x(x>0)的图象上，则sin∠ABO的值为( )
A. 13 B. 33 C. 54 D. 55
8. 在△ABC中，∠C=90°.若AB=3，BC=1，则sinA的值为( )
A. 13 B. 22 C. 223 D. 3
9. 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M(5,2)，那么cosα的值是( )
A. 52 B. 23 C. 255 D. 53
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=34，那么AB的长是( )
A. 52 B. 83 C. 103 D. 237
11. 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，BC=4，则AB长为( )
A. 6 B. 455 C. 83 D. 213
12. 如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则( )
A. c=bsinB B. b=csinB C. a=btanB D. b=ctanB
13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB=ACAB=( )
A. 35 B. 45 C. 37 D. 34
二、填空题
14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则cosA的值是____
15. 小颖将手中的一副三角尺按如图所示摆放在一起，连接AD后，则tan∠ADB=_________；
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，且tanA=13，则AC=______．
17. 在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cosC=______．
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值为________．
三、解答题
19. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，tanA=512，求AC．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tan∠A=12，求BC的长和sin∠B的值．
21. 如图，在△ABC中，DE //BC，AF⊥BC，∠ADE=30°，BF=23．
(1)求AB的长．
(2)若2DE=BC，求DF的长．
22. 如图，已知CD是△ABC的高，AD=1，BD=4，CD=2.直角∠AEF的顶点E是线段CB上一动点，AE交直线CD于点G，EF所在直线交直线AB于点F．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若G为AE的中点，求tan∠EAF的值；
(3)在点E的运动过程中，若BEBC=13，求EFEG的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由勾股定理得，AB=AC2+BC2=32+42=5，
∴cosB=BCAB=45，
2.【答案】D
【解析】【试题解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35=BCAB，
∴设BC=3x，AB=5x，
由勾股定理得：AC=AB2-BC2=4x，
∴tanA=BCAC=3x4x=34，
即∠A的正切值为34，
3.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3，
∴AC=AH2+CH2=42+32=5，
∴sin∠ACH=AHAC=45，
4.【答案】C
【解析】【试题解析】
解：在Rt△ACB中，
∵sinB=ACAB=6AB=0.5，
∴AB=12，
∴BC=AB2-AC2=144-36
=63．
5.【答案】C
【解析】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=22，AD=2，CD=1，AC=5，
∴sinα=cosα=22，故A正确，
tanC=ADCD=2，故B正确，
tanα=1，故D正确，
∵sinβ=CDAC=55，cosβ=255，
∴sinβ≠cosβ，故C错误．
6.【答案】B
【解答】
解：如图，
∵∠B=90°，BC=3，AC=5，
∴AB=AC2-BC2=52-32=4，
∴cosA=ABAC=45，
故选B．
7.【答案】D
【解答】
解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数y=-1x(x<0)上，点B在y=4x(x>0)上，
∴S△AOD=12，S△BOE=2，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠BEO=90°，
∴△AOD∽△OBE，
，
∴AOOB=12
设OA=m，则OB=2m，AB=m2+(2m)2=5m，
在Rt△AOB中，sin∠ABO=OAAB=m5m=55
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，AB=3，BC=1，
∴sinA=13，
9.【答案】D
【解析】解：如图，作MH⊥x轴于H．
∵M(5,2)，
∴OH=5，MH=2，
∴OM=(5)2+22=3，
∴cosα=OHOM=53，
10.【答案】B
【解答】
解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=2，
又∵cosA=ACAB=34，
∴AB=83，
故选：B．
11.【答案】A
【解析】解：如图所示：∵sinA=23，BC=4，
∴sinA=BCAB=23=4AB，
解得：AB=6．
12.【答案】B
【解答】
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB=bc，即b=csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB=ba，即b=atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
13.【答案】A
【解答】
解：在Rt△ABC中，
∵BC=4，AC=3，
∴AB=CB2+AC2=42+32=5，
∴sinA=ACAB=35．
故选A．
14.【答案】513
【解答】
解：在Rt△ABC中，cosA=ACAB=513，
故答案为：513．
15.【答案】3+33
【解答】
解：设CD=BD=1，
则BC=2，AB=22，AC=3BC=6，
如图，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，
则∠DCE=180°-∠ACB-∠BCD=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=DE=22，
∴AE=AC+CE=6+22，
在Rt△AED中，AD=AE2+ED2=7+23，
如图，过点B作BF⊥AD，垂足为F，
设DF=x，则AF=7+23-x，
∵AB2-AF2=BF2, BD2-DF2=BF2，
∴AB2-AF2=BD2-DF2，
即(22)2-(7+23-x)2=12-x2，
解得x=37+23，即DF=37+23，
∴BF=1-x2=4+237+23，
在Rt△BDF中，．
故答案为3+33．
16.【答案】6
【解答】
解：∵tanA=13，
∴BCAC=13，即2AC=13，
解得，AC=6，
故答案为：6．
17.【答案】32或255
【解析】解：若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC=(2x)2-x2=3x，所以cosC=BCAC=3x2x=32；
若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC=(2x)2+x2=5x，所以cosC=ACBC=2x5x=255；
综上所述，cosC的值为32或255．
18.【答案】55
【解答】
解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴AB=AC2+BC2=5，
∴cosB=BCAB=15=55．
故答案为55．
19.【答案】解：∵∠C=90°，
∴tanA=BCAC，
∵BC=3，tanA=512，
∴3AC=512，
解得：AC=365．
20.【答案】解：∵tan∠A=BCAC=12，
∴AC=2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(2BC)2+BC2=102，
解得BC=25，
∴AC=2BC=45，
sin∠B=ACAB=4510=255．
21.【答案】解：(1)∵DE//BC，
∴∠B=∠ADE=30°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∴AB=BFcosB=4；
(2)∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=12，
∴点D是AB的中点，
在Rt△AFB中，点D是AB的中点，
∴DF=12AB=2．
22.【答案】解：(1)结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∵AD=1，CD=2，BD=4，
∴CD2=AD⋅BD，
∴CDAD=BDCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠ACD=∠B，
∵∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
(2)如图1中，作EH⊥AB于H．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CD//HE，
∵AG=GE，
∴AD=DH=1，
∵DB=4，
∴BH=DB-DH=3，
∵EH//CD，
∴BHBD=EHCD，
∴34=EH2，
∴EH=32，
∴tan∠EAF=EHAH=322=34．
(3)如图2中，作EH⊥AB于H．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴EH//CD，
∴EHCD=BHBD=BEBC=13，
∵CD=2，BD=4，
∴EH=23，BH=43，
∴AH=AB-BH=5-43=113，DH=AH-AD=83，
在Rt△AEH中，AE=AH2+EH2=(113)2+(23)2=553，
∵DG//EH，
∴GEAE=DHAH，
∴EG553=83113，
∴EG=40533，
∵AE⊥EF，EH⊥AF，
∴△AEH∽△EFH，
∴AEEF=AHEH，
∴553EF=11323，
∴EF=10533
∴EFEG=1053340533=14．
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