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5.3 垂径定理
一．选择题
1．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
2．在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
3．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
6．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB＝，BD＝5，则AH的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
8．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm
9．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
10．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于直径的弦平分这条直径
B．负数没有立方根
C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三角形两边的差小于第三边
二．填空题
11．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为 cm．
12．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．
13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 ．
14．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 ．
16．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm．
17．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝
三．解答题
18．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．
20．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．
参考答案
一．选择题
1．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
2．解：如图所示：连接OD，
∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∴DC＝＝6，
∴DE＝2DC＝12．
故选：C．
3．解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，
∴OC＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
4．解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
5．解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
6．解：连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴AB⊥CD，
∴∠OHD＝∠BHD＝90°，
∵sin∠CDB＝，BD＝5，
∴BH＝3，
∴DH＝＝4，
设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，
在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，
解得：x＝，
∴OH＝；
∴AH＝OA+OH＝，
故选：B．
7．解：连接AC，
由题意得，BC＝OB+OC＝9，
∵直线L通过P点且与AB垂直，
∴直线L是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC＝9，
在Rt△AOC中，AO＝＝2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
故选：A．
8．解：连接AB，OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即AB＝，
∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，
∴BF＝FC，
∴OF＝．
故选：D．
9．解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．
故选：C．
10．解：A、错误，应该是垂直于弦的直径平分弦；
B、错误．负数也有立方根；
C、错误．应该是两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D、正确．
故选：D．
二．填空题
11．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为12．
12．解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，
在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；
综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故答案为1或7．
13．解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
故答案为：3．
14．解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．
15．解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝CD＝8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵A（20，0），
∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝10﹣8＝2．
连接MC，则MC＝OA＝10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝＝6
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
16．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AE＝8cm，CF＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴EO＝6cm，OF＝8cm，
∴EF＝OF﹣OE＝2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AF＝8cm，CE＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴OF＝6cm，OE＝8cm，
∴EF＝OF+OE＝14cm．
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为：2或14．
17．解：∵直径CD⊥弦AB，AB＝6，OE＝4，
∴BE＝3，
则BO＝＝＝5，
故直径CD＝10．
三．解答题
18．解：（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．
∵DF是直径，
∴∠DCF＝∠DBF＝90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，
∵∠FCA+∠ACD＝90°
∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC
∴等腰梯形ACFB
∴CF＝AB．
根据勾股定理，得
CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝20，
∴DF＝，
∴OD＝，即⊙O的半径为．
19．解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设OB＝x，
又∵BE＝4，
∴x2＝（x﹣4）2+82，
解得：x＝10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，
∴∠D＝∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D＝30°．
20．解：∵OE⊥AB，
∴∠OEF＝90°，
∵OC为小圆的直径，
∴∠OFC＝90°，
而∠EOF＝∠FOC，
∴Rt△OEF∽Rt△OFC，
∴OE：OF＝OF：OC，即4：6＝6：OC，
∴⊙O的半径OC＝9；
在Rt△OCF中，OF＝6，OC＝9，
∴CF＝＝3，
∵OF⊥CD，
∴CF＝DF，
∴CD＝2CF＝6．
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