资源描述
13.2 两变量间的相关性、回归分析和独立性检验
典例精析
题型一 求回归直线方程
【例1】下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用(万元)的几组统计数据:
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8[来源:..]
5.5
6.5
7.0
(1)若y对x呈线性相关关系,求出y关于x的线性回归方程y=x+;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用为多少?
【解析】(1)因为xiyi=112.3,x=4+9+16+25+36=90,且=4,=5,n=5,
所以===1.23,=5-1.23×4=0.08,
所以回归直线方程为y=1.23x+0.08.
(2)当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.38,
所以估计当使用10年时,维修费用约为12.38万元.
【点拨】当x与y呈线性相关关系时,可直接求出回归直线方程,再利用回归直线方程进行计算和预测.
【变式训练1】某工厂经过技术改造后,生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据.
x
3
4
5
6
y
2.5[来源:....]
3
4
4.5
据相关性检验,y与x具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜率为0.7,那么y关于x的回归直线方程是 .
【解析】先求得=4.5,=3.5,由=0.7x+a过点(,),则a=0.35,所以回归直线方程是=0.7x+0.35.
题型二 独立性检验
【例2】研究小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系,经试验观察,得到数据如下表所示:
种子灭菌
种子未灭菌
合计
黑穗病
26
184
210
无黑穗病
50
200
250
合计
76
384
460
试按照原试验目的作统计分析推断.
【解析】由列联表得:
a=26,b=184,c=50,d=200,a+b=210,c+d=250,a+c=76,b+d=384,n=460.
所以K2==≈4.804,
由于K2≈4.804>3.841,
所以有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病是有关系的.
【变式训练2】(2013东北三省三校模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生,将他们的身高和体重制成2×2的列联表,根据列联表的数据,可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.[来源:..]
超重
不超重
合计[来源:....]
偏高
4
1
5
不偏高
3
12
15
合计[来源:..]
7
13
20
附:独立性检验临界值表
P(K2≥k0)
0.025[来源:..]
0.010
0.005
0.001
k0
5.024[来源:..]
6.635
7.879
10.828
(独立性检验随机变量K2值的计算公式:K2=)
【解析】由表可得a+b=5,c+d=15,a+c=7,b+d=13,ad=48,bc=3,n=20,运用独立性检验随机变量K2值的计算公式得K2==≈5.934,
由于K2≈5.934>5.024,所以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
总结提高
1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时,必须从散点图入手.
2.样本的随机性导致由线性回归方程所作出的预报也具有随机性.
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