湖北省襄阳市襄樊高级中学2023年高三数学文下学期期末试卷含解析

湖北省襄阳市襄樊高级中学2023年高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（   ） A．          B．             C．     D． 参考答案： C 略 2. 设不等式组，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P（x，y），则P点的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： A 3. 复数 =（　　） A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 参考答案： C 【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1 代替即可． 【解答】解： =﹣2+i 故选C 4. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，，点在线段上，且.若，则（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 设，则由面积关系得 所以，选B.   5. 若实数，满足线性约束条件，则的最大值为（    ） A． 0     B．  4    C．  5    D．7 参考答案： C 6. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 参考答案： D 全称性命题的否定是存在性命题，所以选D。 7. 命题，则命题为（    ） A．         B．     C．若，则     D．若，则     参考答案： A 略 8. 参考答案： B 9. 已知P（，1），Q（，－1）分别是函数的图象上相邻的最高点和最低点，则（  ） A. B. C. － D. 参考答案： B 【分析】 由点P,Q两点可以求出函数的周期，进而求出，再将点P或点Q的坐标代入，求得，即求出。 【详解】因为，所以，把的坐标代入方程，得 ，因为，所以，故选B。 【点睛】本题主要考查利用三角函数的性质求其解析式。 10. 下列函数中，在内有零点且单调递增的是             （A） （B）    （C） (D) 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是　　　　　　. 参考答案： 12. 执行如图所示的程序，则输出的结果为________. 参考答案： 13. 方程的根称为函数的零点，定义在上的函数，其导函数的图像如图所示，且，则函数的零点个数是             . 参考答案： 3 略 14. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。 参考答案： 1，1 根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此， ，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1． 15. 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于               参考答案： 4   略 16. 私家车具有申请报废制度．一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3000元的等差数列，第一年维修费为3000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限（使用多少年的年平均费用最少）是　　年． 参考答案： 10 【考点】等差数列的性质． 【分析】设这辆汽车报废的最佳年限n年，年平均费用： =0.15n++1.65，利用均值定理能求出这辆汽车报废的最佳年限． 【解答】解：设这辆汽车报废的最佳年限n年， 第n年的费用为an， 则an=1.5+0.3n， 前n年的总费用为：Sn=15+1.5n+=0.15n2+1.65n+15， 年平均费用： =0.15n++1.65≥2+1.65=4.65， 当且仅当0.15n=，即n=10时，年平均费用取得最小值． ∴这辆汽车报废的最佳年限10年． 故答案为：10． 17. 分别从集合A={0，1，2}和集合B={1，3}中随机各取一个数，则这两数之和是偶数的概率是　_________　． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 【选修4﹣1：几何证明选讲】 如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，且AB=CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F． （1）求证：CD2=AE?BC； （2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长． 参考答案： 【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】直线与圆． 【分析】（1）由已知条件，利用直线平行的性质和弦切角定理推导出△EAB∽△ABC，由此能证明CD2=AE?BC． （2）由已知条件和（1）先求出AE，再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB，由此能求出结果． 【解答】解：（1）因为AD∥BC，所以∠EAB=∠ABC． 又因为FB与圆O相切于点B， 所以∠EBA=∠ACB， 所以△EAB∽△ABC， 所以=，即AB2=AE?BC， 因为AB=CD，所以CD2=AE?BC． （2）因为AB2=AE?BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD， 所以AE==， 因为AD∥BC，所以∠FAE=∠ACB， 又因为∠EBA=∠ACB， 所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F， 所以△FEA∽△FAB， 所以， 所以EF==． 【点评】本题考查三角形相似的应用，考查与圆有关的线段长的求法，解题时要注意弦切角定理和三角形相似的性质的灵活运用． 19. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn （Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n?2n﹣1}是等比数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 参考答案： 【考点】数列的应用． 【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知an+1=2an+2n．由此可知an+1﹣（n+1）?2n=2an+2n﹣（n+1）?2n=2（an﹣n?2n﹣1），所以{an﹣n?2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）当b=2时，由题设条件知an=（n+1）2n﹣1；当b≠2时，由题意得=，由此能够导出{an}的通项公式． 【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2， 且ban﹣2n=（b﹣1）Sn ban+1﹣2n+1=（b﹣1）Sn+1 两式相减得b（an+1﹣an）﹣2n=（b﹣1）an+1 即an+1=ban+2n① 当b=2时，由①知an+1=2an+2n 于是an+1﹣（n+1）?2n=2an+2n﹣（n+1）?2n=2（an﹣n?2n﹣1） 又a1﹣1?20=1≠0，所以{an﹣n?2n﹣1}是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an﹣n?2n﹣1=2n﹣1， 即an=（n+1）2n﹣1 当b≠2时，由①得 == 因此= 即 所以． 20. 已知函数. （1）若，试讨论函数的单调性； （2）设，当对任意的恒成立时，求函数的最大值的取值范围. 参考答案： ：（1） 因为，则时，时，， ∴在上递减，在上递增. （2）当时，若，则. 所以对任意的恒成立时，. 由（1）知，当时，在上递减，在上递增. 依题意，有，∴. ， ∴. 设，则. ∵，∴，∴在上递增， ∵，. 因此，存在唯一，使得. 当时，单调递增； 当时，单调递减. 因此在处取得最大值，最大值为. ∴. 21. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且有，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 参考答案： 解：（Ⅰ）， ， ． 又，， ．    …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）， ， ． 两式相减得：， ， ．    ……………………………………………………………（12分） 22. 如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且 （1）在棱AB上找一点Q，使QP//平面AMD，并给出证明； （2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值. 参考答案： （1）当时，有//平面AMD. 证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB， 所以，又，所以，所以在中，OP//AM. 又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD. （2）锐二面角的余弦值为. 试题分析：（1）设Q为AB上的一点，满足.由线面平行的性质证出MD//NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在中得到OP//AM.最后利用线面平行判定定理，证出// 面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点； （2）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标.利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出平面CMN的法向量.根据线面垂直的判定定理证出DC平面BNC，从而得到即是BNC的法向量，最后利用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面CMN与平面BNC所成锐二面角的余弦值. 试题解析：（1）当时，有//平面AMD. 证明：因为MD平面ABCD，NB平面ABCD，所以MD//NB， 所以，又，所以，所以在中，OP//AM. 又面AMD，AM面AMD，∴// 面AMD. （2）以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2）N（2，2，1），所以=（0，-2，2），=（2，0，1），=（0，2，0）， 设平面CMN的法向量为=（x，y，z）则，所以，所以=（1，-2，-2）. 又NB平面ABCD，∴NBDC，BCDC，∴DC平面BNC，∴平面BNC的法向量为==（0，2，0）， 设所求锐二面角为，则. 考点：利用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定.