湖北省鄂州市华森学校2022年高三数学理联考试卷含解析

湖北省鄂州市华森学校2022年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下面关系中正确的是   （    ） （A）aì｛a｝   （B）｛a｝∈｛a，b｝   （C）｛a｝í｛a｝   （D）f∈｛a，b｝ 参考答案： C 2. 某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需要13万元/辆，购买B型汽车需要8万元/辆，假设公司第一年A型汽车的纯利润为5万元/辆，B型汽车的纯利润为1.5万元/辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（     ） A．8辆A型汽车，42辆B型汽车    B．9辆A型汽车，41辆B型汽车 C．11辆A型汽车，39辆B型汽车   D．10辆A型汽车，40辆B型汽车 参考答案： D 略 3. 已知全集.集合，，则（     ） A.    B.    C.     D.  参考答案： C 略 4. 已知是两个不同的平面，是不同的直线，下列命题不正确的是(    )． A．若则   B．若则 C．若则  D．若，则 参考答案： A 5. 已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值…… …（     ）． .恒为正数                            恒为负数                .恒为0                     .可正可负 参考答案： A TTT 同理，，，…，，又T，以上各式相加，得. 选A.   6. 平面向量与的夹角为60°，则=（    ） A．             B．             C．4             D．12 参考答案： B 7. 设ξ～B（18，p），又E（ξ）=9，则p的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】根据ξ～B（18，p），E（ξ）=9，直接利用Eξ的公式即可得到p的值． 【解答】解：∵ξ～B（18，p），E（ξ）=9， ∴18p=9， ∴p=， 故选：A． 【点评】本题考查了二项分布与n次独立重复试验的模型，直接利用公式，属于基础题． 8. （5分）（2015?嘉峪关校级三模）已知集合A={x|≥2}，则?RA=（　　） 　 A． （，+∞） B． （﹣∞，） C． （﹣∞，﹣1]∪（，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（，+∞） 参考答案： C 【考点】： 补集及其运算． 【专题】： 集合． 【分析】： 求出集合A，利用补集进行求解． 解：A={x|≥2}={x|﹣2=≥0}={x|﹣1＜x≤}， 则?RA={x|x＞或x≤﹣1}， 故选：C． 【点评】： 本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础． 9. 并排的5个房间，安排给5个工作人员临时休息，假设每个人可以进入任一房间，且进入每个房间是等可能的，问每个房间恰好进入一人的概率是_______ A.     B   C.    D. 参考答案： A 10. 已知三点A(2，1)，B(1，2)，C(，)，动点P(a，b)满足0≤≤2，且0≤≤2，则点P到点C的距离大于的概率为     (A) 1  (B)     (C) 1    (D) 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （选修4—5 不等式选讲）若任意实数使恒成立，则实数的取值范围是___              ____； 参考答案： 12. 已知函数（，）的图象如图所示，其中，，则函数          ． 参考答案： 依题意，，解得：，故，将点A带入，得： ，解得：. 故答案为：   13. （13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是            . 参考答案： 16π-16 14. 设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是            . 参考答案： 2 15. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是             .   参考答案： 1/3 略 16. 已知船在灯塔北偏东处，且船到灯塔的距离为2km，船在灯塔北偏西处，、两船间的距离为3km，则B船到灯塔的距离为____________km。 参考答案： 由题意知，,,设B船到灯塔的距离为，即，由余弦定理可知，即，整理得，解得（舍去）或。 17. 不等式的解集是 . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点． （1）求证：SD∥平面CFA； （2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小． 参考答案： 解：(Ⅰ)连接BD，交AC于E，连接EF.   ，………………………………………3分 又平面，SD平面CFA，SD平面CFA…………6分 (Ⅱ)取BC的中点O，连接SO. 因为侧面底面，，平面 又，故建立如图所示的坐标系， 则，，，， ，，，.………………………………8分 设平面的法向量， 则，令，得…………10分 设平面的法向量，则 ，得.………11分 设平面与平面SAB所成的锐二面角为，则， 故所成锐二面角的余弦值为.……………………12分   略 19. 已知函数. （1）若，求f(x)的单调区间； （2）证明：存在正实数M，使得. 参考答案： （1）见解析；（2）见证明. 【分析】 （1）先求f′（x），研究的分子，根据二次函数的性质判断f′（x）的符号得出f（x）的单调性； （2）当时，，只需找一个x>1，使得lnx>0即可； 当时，由（1）知只需证即可，构造函数，通过导函数证明即可. 【详解】（1）定义域为，，. 当时，，有一个零点. 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减. （2）当时，存在正实数，使得. 当时，. 由（1）知. 由，得，所以. 设，当时，， 所以在单调递增，所以, 即，存在正实数，使得. 【点睛】本题考查了利用导数进行函数单调性的判断，考查了存在性问题与函数最值的转化，考查分类讨论思想，属于中档题． 20. 已知函数，（其中实数,是自然对数的底数）． （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）求在区间上的最小值； (Ⅲ) 若存在，使方程成立，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）当时，┈┈1分    故切线的斜率为，                              ┈┈┈┈ 2分 所以切线方程为：，即. ┈┈┈┈ 3分 （Ⅱ），  令，得                                   ┈┈┈┈ 4分 ①当时，在区间上，，为增函数，              所以              ┈┈┈┈ 5分 ②当时，在区间上，为减函数，┈┈┈┈ 6分            在区间上，为增函数，┈┈┈┈ 7分 所以                ┈┈┈┈ 8分 (Ⅲ) 由可得 ，                   ┈┈┈┈ 9分 令，        ┈┈┈┈ 10分 单调递减 极小值（最小值） 单调递增 ┈┈┈┈ 12分 ，，                ┈┈┈┈ 13分 实数的取值范围为           ┈┈┈┈ 14分   略 21. 集合M={1，2…9}中抽取3个不同的数构成集合{a1，a2，a3} （1）对任意i≠j，求满足|ai﹣aj|≥2的概率； （2）若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），求ξ的分布列及数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；等差数列的性质；古典概型及其概率计算公式． 【分析】（1）先求出M有9个元素，抽取3个元素的种数，在分类求出|ai﹣aj|≥2的种数，根据概率公式计算即可． （2）结合变量对应的事件和等差数列，写出变量的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）M有9个元素，抽取3个元素，有=84种， 对任意的i≠j，i，j∈{1 2 3} 满足|ai﹣aj|≥2的取法： ①最小取1的： =15种， ②最小取2的： =10种， ③最小取3的： =6种， ④最小取4的： =3种， ⑤最小取5的： =1种， 故共有15+10+6+3+1=35种， 故满足|ai﹣aj|≥2的概率为； （2）∵若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），则ξ=1，2，3，4， ξ=1即三个连续的数，有7种，ξ=2即三个连续的奇数或偶数，有5种，．ξ=3，有（1，4，7），）2，5，8），（3，6，9）3种，ξ=4只有1种（1，5，9）， 故成等差数列的一共有7+5+3+1=16． 则P（ξ=1）=，则P（ξ=2）=，则P（ξ=3）=，P（ξ=4）=， 分布列为： ξ 1 2 3 4 P 故E（（ξ）=1×+2×+3×+4×=． 22. 设点分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为. （I）求椭圆的方程; （II）设直线（直线、不重合）,若、均与椭圆相切，试探究在轴上是否存在定点,使点到、的距离之积恒1? 若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案： （I）设,则有,          由最小值为得, ∴椭圆的方程为                     ………（4分） （II）把的方程代入椭圆方程得 ∵直线与椭圆相切,∴,化简得     同理可得:  ∴,若,则重合,不合题意,    ∴,即 设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,则 ,即,   把代入并去绝对值整理, 或者 前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立     则, 解得;  综上所述,满足题意的定点存在,其坐标为或   ………（13分）   略