湖北省随州市蔡河镇中心中学2022年高二数学理联考试题含解析

湖北省随州市蔡河镇中心中学2022年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线x2=8y的焦点坐标为（　　） A．（2，0） B．（4，0） C．（0，2） D．（0，4） 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的标准方程的形式，求出焦参数p值，即可得到该抛物线的焦点坐标． 【解答】解：由题意，抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上 ∵抛物线x2=8y中，2p=8，得=2 ∴抛物线的焦点坐标为F（0，2） 故选：C 2. 已知函数f(x)在x=1 处导数为1，则 （    ）   A、 3       B、         C、       D、 参考答案： B 3. 下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( 　　) ①f(x)>0的解集是{x|00的解集为(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围是　　　. 参考答案： (－4,0) 解析：△=a2+4a<0. 16. 双曲线4x2﹣y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则点P到另一个焦点的距离等于　　． 参考答案： 17 【考点】双曲线的定义． 【分析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a、b的值，然后根据双曲线的定义得出|PF1﹣PF2|=2a，根据题中的已知数据，可以求出点P到另一个焦点的距离． 【解答】解：将双曲线4x2﹣y2+64=0化成标准形式： ∴a2=64，b2=16 P到它的一个焦点的距离等于1，设PF1=1 ∵|PF1﹣PF2|=2a=16 ∴PF2=PF1±16=17（舍负） 故答案为：17 【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题．利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点． 17. 若复数z满足（i为虚数单位），则Z的共轭复数__________． 参考答案： 【分析】 先由复数的除法运算，求出复数，进而可得出其共轭复数. 【详解】因为，所以， 因此其共轭复数为 故答案为 【点睛】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属于基础题型. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知 ，分别用“For”语句和“While”语句描述计算S这一问题的算法过程。 参考答案： 19. 已知圆C： （1）将圆C的方程化成标准方程并指出圆心C的坐标及半径的大小； （2）过点引圆C的切线，切点为A，求切线长； （3）求过点的圆C的切线方程； 参考答案： (1)圆心（2，-3） 半径 3   （2）4    （3） x=-1或 7x+24y-17=0 20. 已知函数 （1）求的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值； 参考答案： (1) 在上单调递增，在上单调递减.(2) 最大值为0，最小值为. 【分析】 通过求导函数判断函数单调性，进而判断函数在的最值. 【详解】（1）的定义域为. 对求导得， 因函数定义域有，故，由. ∴在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减， ∴在上的最大值为. 又，，且， ∴在上的最小值为， ∴在上的最大值为0，最小值为. 【点睛】此题是函数单调性和函数最值的常见题，通常利用导数来处理。 21. 某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率; (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率. 参考答案： (1)该公司决定对该项目投资的概率为P=C2+C3=  (2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:   “同意”票张数 “中立”票张数 “反对”票张数 事件A 0 0 3 事件B 1 0 2 事件C 1 1 1 事件D 0 1 2   P(A)=C3=,P(B)=C3=,P(C)=CC3=, P(D)=C3=  ∵A、B、C、D互斥, ∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=  22. 已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a＞0） （Ⅰ）当a=1时，试求函数图象过点（1，f（1））的切线方程； （Ⅱ）当a=2时，若关于x的方程f（x）=3x+b有唯一实数解，试求实数b的取值范围； （Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），且不等式f（x1）＞mx2恒成立，试求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求当a=1时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程； （Ⅱ）问题转化为b=x2﹣3x+lnx有唯一实数解，（x＞0），令g（x）=x2﹣3x+lnx，（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的极值，从而求出b的范围即可； （Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜，不等式f（x1）＞mx2恒成立即为＞m，令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，有f（x）=x2﹣2x+lnx， ∵f′（x）=，∴f′（1）=1， ∴过点（1，f（1））的切线方程为：y﹣（﹣1）=x﹣1， 即x﹣y﹣2=0．                          （Ⅱ）当a=2时，有f（x）=x2﹣2x+2lnx，其定义域为（0，+∞）， 从而方程f（x）=3x+b可化为：b=x2﹣5x+2lnx， 令g（x）=x2﹣5x+2lnx，则g′（x）=， 由g′（x）＞0得0＜x＜或x＞2，g′（x）＜0，得＜x＜2， ∴g（x）在（0，）和（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减， 且g（）=﹣﹣2ln2，g（2）=﹣6+2ln2， 又当x→0时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→+∞， ∵关于x的方程f（x）=3x+b有唯一实数解， ∴实数b的取值范围是b＜﹣6+2ln2或b＞﹣﹣2ln2． （Ⅲ）f′（x）=2x﹣2+=（x＞0）， 令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0， 当△=4﹣8a＞0且a＞0，即0＜a＜时，由2x2﹣2x+a=0，得x1，2=， 由f'（x）＞0，得0＜x＜或x＞； 由f'（x）＜0，得＜x＜， 故若函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜， 由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，则x1+x2=1，x1=，x2=， 由0＜a＜，可得0＜x1＜，＜x2＜1， ==1﹣x1++2x1lnx1， 令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜）， h′（x）=﹣1﹣+2lnx， 由0＜x＜，则﹣1＜x﹣1＜﹣，＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣＜﹣1， 又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，）递减， 即有h（x）＞h（）=﹣﹣ln2，即＞﹣﹣ln2， 即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣﹣ln2]．