湖北省黄冈市三博中学2022-2023学年高三数学文月考试卷含解析

湖北省黄冈市三博中学2022-2023学年高三数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算． 【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， ∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角． 在△AC1A1中，sin∠AC1A1===． 故选D． 2. 函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使成立，则实数的值为（    ） A．             B．             C．              D． 参考答案： D 3. 设复数，若,则复数z的虚部为(   ） A．             B．             C．           D． 参考答案： D 4.   在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 人体的脂肪含量百分比和年龄 年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 56 58 60 脂肪 9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2 29．6 31．4 33．5 35．2 通过计算得到回归方程为，利用这个方程，我们得到年龄37岁时体内脂肪含量为20.90%，那么数据20.90%的意义是：   A  某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%；   B  某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%的概率最大；   C  某人年龄37岁，他体内脂肪含量的期望值为20.90%；   D  20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计； 参考答案： 答案：D 5. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（    ） A．       B．       C．      D． 参考答案： B 略 6. 若等比数列的前项和为(为常数，)，则 A．         B．         C．           D． 参考答案： A 略 7. 若实数，满足则的最大值是（  ） A．-1         B． 1      C.  2       D．3 参考答案： C 8. 的单调减区间为 (    ） A．       B．     C．     D． 参考答案： A 9. 抛物线的准线方程是，则a的值为 （    ）        （A）                   （B）－               （C）8                     （D）－8 参考答案： 答案：B 10. 已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】设单位向量，的夹角为θ，根据，得?（+2）=0，代入数据求出cosθ的值． 【解答】解：设单位向量，的夹角为θ， ∵， ∴?（+2）=+2=0， 即12+2×1×1×cosθ=0， 解得cosθ=﹣， ∴与夹角的余弦值为﹣． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，已知，给出下列结论： ①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC一定是钝角三角形； ③； ④若，则△ABC的面积是. 其中正确结论的序号是 _______ 参考答案： ②③ 【分析】 根据正弦定理及三角形面积公式，余弦定理，逐一分析选项即可. 【详解】因为(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，设，可解得，对于①，边长不确定，所以①错误，对于②由余弦定理，可知A为钝角，△ABC一定是钝角三角形，所以②正确，对于③由正弦定理知,③正确，对于④由，又,,故④错误. 【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，三角形面积公式求面积，属于中档题. 12. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时 且，则不等式的解集为                         ． 参考答案： 13. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这1万人中用分层抽样方法抽100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出          人． 参考答案： 25   14. 已知的周长为6，且成等比数列，则的取值范围是      ． 参考答案： 15. 将函数y＝sin2x按向量＝(－，1)平移后的函数解析式是____________. 参考答案： 略 16. 已知整数满足，则使函数的周期不小于的概率是      ． 参考答案： 17. 在中，内角的对边分别是，若，，则          参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题13分）在中，角，，对应的边分别是，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积，求的值. 参考答案： （1）.（2）. （1）由，得 ，  即.解得 因为.所以. （2）由，得：， 又，所以.由余弦定理得， 所以. 从而由正弦定理得. 19. 如图四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上． （1）求证：AB⊥PC． （2）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值． 参考答案： 【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题． 【分析】（1）设E为BC的中点，连接AE，证明AB⊥PC，只需证明AB⊥平面PAC，只需证明AB⊥AC，AB⊥PA． （2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，证明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明∠BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值． 【解答】（1）证明：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，AD∥EC， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AE⊥BC ∵AE=BE=EC=2， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴AB⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴AB⊥PA ∵AC∩PA=A， ∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥PC． （2）设AC∩BD=O，连接OP，过点M作MN⊥AD，过点N作NG⊥AC于G，连接MG，则MN∥PA， 由PA⊥平面ABCD，可得MN⊥平面ABCD， ∴MN⊥AC， ∵NG⊥AC，MN∩NG=N， ∴AC⊥平面MNG， ∴AC⊥MG， ∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角，即∠MGN=45° 设MN=x，则NG=AG=x，∴AN=ND=x， 可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH， 由（1）AB⊥平面PAC，∴∠BHA是BM与平面PAC所成的角 在△ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3， ∴cos∠ABM=， ∵∠BHA与∠ABM互余， ∴BM与平面PAC所成的角的正弦值为． 20. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各个，从中任取只，有放回地抽取次．求： ①     只全是红球的概率；     ②     只颜色全相同的概率； ③ 只颜色不全相同的概率． 参考答案： 解析：①每次抽到红球的概率为 ②每次抽到红球或黄球 ③颜色不全相同是全相同的对立， 21. （12分） 已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）； （Ⅲ）求证：对任意正数、、、，恒有 . 参考答案： 解析：（Ⅰ） ∴的增区间为，减区间为和. 极大值为，极小值为.…………4′ （Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，时，的最大值为. ∴的最大值为，由恒成立的意义知道，从而…8′ （Ⅲ）设 则. ∴当时，，故在上是减函数， 又当、、、是正实数时， ∴. 由的单调性有：， 即.…………12′ 22. 已知函数f（x）=在x=1处取得极值2． （1）求函数f（x）的表达式； （2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？ 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）由已知可得f′（1）=0，f（1）=2，从而可求得a，b． （2）先利用导数求出f（x）的增区间，由条件可知（m，2m+1）为f（x）增区间的子集，从而可求得m所满足的条件． 【解答】解：（1）因为f′（x）=，而函数f（x）=在x=1处取得极值2，所以，即，解得． 故f（x）=即为所求． （2）由（1）知f′（x）=，令f′（x）＞0，得﹣1＜x＜1，∴f（x）的单调增区间为[﹣1，1]． 由已知得，解得﹣1＜m≤0． 故当m∈（﹣1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增． 【点评】本题考查了函数的极值概念、利用导数研究函数的单调性，熟练掌握相关基础知识是解决问题的关键．