湖北省黄冈市傅桥中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

湖北省黄冈市傅桥中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 A． B． C．3 D．2 参考答案： A 设椭圆离心率，双曲线离心率，由焦点三角形面积公式得，即，即，设， 由柯西不等式得最大值为. 2. 已知向量的夹角为，， 与共线，则的最小值为 A．    B．       C．           D．1 参考答案： C 略 3. 设是三个不重合的平面，是不重合的直线，下列判断正确的是（   ）     （Ａ） 若则         （Ｂ）若则     （Ｃ） 若则          （Ｄ）若则 参考答案： B 略 4. 参考答案： B 5. 设函数，若，且，则（    ）     A．          B．         C．          D． 参考答案： D 当时，为增函数，又，且，故，则即，所以． 6. 已知定义在实数集R上的函数满足=2，且的导数在R上恒有<，则不等式的解集为（  ） A．   B．  C．     D．∪ 参考答案： A 略 7. 数学归纳法证明（n+1）?（n+2）?…?（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n=k到n=k+1左边需增加的乘积因式是（　　） A．2（2k+1） B． C．2k+1 D． 参考答案： A 【考点】数学归纳法． 【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，比较两个表达式，即得所求． 【解答】解：当n=k时，左边=（k+1）（k+2）…（k+k）， 当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）， 故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1）， 故选A． 8. (07年全国卷Ⅱ)下列四个数中最大的是（    ） A．           B．          C．            D． 参考答案： 答案：D 解析：∵ ，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln=ln2，∴ 最大的数是ln2，选D。 9. 命题“存在实数,使”的否定是（  ） （A） 对任意实数, 都有      （B）不存在实数，使x1 （C） 对任意实数, 都有     （D）存在实数，使 参考答案： C 10. 函数的导函数在区间[－π，π]上的图象大致是(    ) A．         B．       C.         D． 参考答案： A ，可排除 又∵f′(x)在x=0处取最大值；故排除B. 故选A   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （坐标系与参数方程选做题） 极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是          ． 参考答案： 略 12. 若P是抛物线y2=8x上的动点，点Q在以点C（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为　   　． 参考答案： 3 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径． 【解答】解：由于点C为抛物线的焦点，则|PC|等于点P到抛物线准线x=﹣2的距离d． 又圆心C到抛物线准线的距离为4， 则|PQ|+|PC|=|PQ|+d≥3．当点P为原点，Q为（1，0）时取等号． 故|PQ|+|PC|得最小值为3． 故答案为：3． 13. 已知等比数列的各均为正数，且，则数列的通项公式为            ； 参考答案： 14. 函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是　　． 参考答案： {x|﹣3＜x＜0或x＞3} 略 15. 图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为           ； 参考答案： 略 16. 若变量满足约束条件的最小值为，则k=________. 参考答案： -1 17. 等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=　　． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的前n项和． 【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a5=10，S5=30，可得，解得a1，d．可得Sn，再利用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴， 解得a1=d=2． ∴Sn==n（n+1）， ∴==． 则+++…+=++…+=1﹣=． 故答案为：． 【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=x2+（a﹣1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n+1）﹣1 （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）依题意，可求得a=1，b=﹣1，从而得Sn=n2，于是可求得a1及an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1（n≥2），观察即可求得数列{an}的通项公式； （2）由（1）得bn=，利用错位相减法可求得Tn=5﹣． 【解答】解：（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称， ∴a﹣1=0且a+b=0， 解得a=1，b=﹣1， ∴f（x）=x2， ∴Sn=f（n+1）﹣1=（n+1）2﹣1=n2+2n 即有an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1（n≥2），a1=S1=1也满足， ∴an=2n+1； （2）由（1）得bn=， Tn=+++…++，① ∴Tn=+++…++，② ①﹣②得Tn=++++…+﹣ =+2×﹣ =+2﹣﹣ =﹣． ∴Tn=7﹣． 19. 已知函数，. （1）设，讨论函数的单调性； （2）若，证明：在(0,+∞)恒成立. 参考答案： （1）见解析；（2）见解析 【分析】 （1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，两次求导可证明在上单调递增，可得，则，再结合可得结论. 【详解】（1）因为， 所以， ①若，.∴在上单调递减. ②若，则， 当，或时，，当时，， ∴，上单调递减，在上单调递增. ③若，则， 当，或时，，当时，. ∴在，上单调递减，在上单调递增. （2）∵，∴. 设，则. 设，则，在上，恒成立. ∴在上单调递增. 又∵，∴时，，所以在上单调递增， ∴，∴，， 所以， 所以在上恒成立. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明. 20. （12分）（2011?东城区二模）已知，． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求函数的值域． 参考答案： （1）   （2）         （Ⅰ）因为，且， 所以，． 因为=． 所以．   （Ⅱ）由（Ⅰ）可得． 所以=1﹣2sin2x+2sinx=，x∈R． 因为sinx∈[﹣1，1]，所以，当时，f（x）取最大值； 当sinx=﹣1时，f（x）取最小值﹣3． 所以函数f（x）的值域为． 21. 对于函数与常数a，b，若恒成立，则称（a，b）为函数的一个“P数对”：设函数的定义域为，且f(1)=3． (I)若（a，b）是的一个“P数对”，且，，求常数a，b的值； (Ⅱ)若(1，1)是的一个“P数对”，求； (Ⅲ)若()是的一个“P数对”，且当时，，求k的值及在区间上的最大值与最小值． 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，在上的最大值为，最小值为3；当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为； 当为偶数时，在上的最大值为，最小值为．     解析：（Ⅰ）由题意知，即，解得： （Ⅱ）由题意知恒成立，令， 可得，∴是公差为1的等差数列 故，又，故． （Ⅲ）当时，，令，可得，解得， 所以，时，，  故在上的值域是．                         又是的一个“数对”，故恒成立， 当时，， …， 故为奇数时，在上的取值范围是； 当为偶数时，在上的取值范围是． 所以当时，在上的最大值为，最小值为3； 当且为奇数时，在上的最大值为，最小值为； 当为偶数时，在上的最大值为，最小值为． 略 22. 已知数列{}的前n项和为，满足   （1）证明:数列{+2}是等比数列.并求数列{}的通项公式；   （2）若数列{}满足，设是数列的前n项和，求证： 参考答案： 证明：（1）由得：Sn=2an－2n 当n∈N*时，Sn=2an－2n，①          则当n≥2, n∈N*时，Sn－1=2an－1－2(n－1).  ②                 ①－②，得an=2an－2an－1－2，          即an=2an－1+2，          ∴an+2=2(an－1+2)                         ∴          当n=1 时，S1=2a1－2，则a1=2，         ∴ {an+2}是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列.……5分 ∴an+2=4·2n－1， ∴an=2n+1－2，    （2）证明：由         则③             ，④          ③－④，得                                所以： .