湖北省随州市小林中学2022年高三数学理联考试卷含解析

湖北省随州市小林中学2022年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，“”是“”的                               (    ) A．充分不必要条件                       B．必要不充分条件 C．充要条件                             D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 2. 已知两点，则直线与轴的交点分有向线段的比为 A．    B． C．             D． 参考答案： C  解析：设所求的分比为，则由 3. 已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 参考答案： B 【考点】对数值大小的比较． 【分析】利用对数函数、指数函数的性质、运算法则求解． 【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x|， ∴a=f（log0.53）==3， b=f（log25）==5， c=f（0）=20=1， ∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b． 故选：B． 4. 如果对定义在R上的函数，对任意，均有成立，则称函数f(x)为“和谐函数”.给出下列函数： ①；②；③；④.其中函数是“和谐函数”的个数为（   ） A．1                 B．2             C．3            D．4 参考答案： B 由已知得，所以函数为“和谐函数”等价于在上为增函数，由此判断①在上为增函数，符合题意；②得，所以在上有增有减，不合题意；③得， 所以在上为增函数，符合题意；④可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意，故选B. 5. 已知t为常数，函数有两个极值点a、b (a＜b)，则（    ） A． B． C． D． 参考答案： A 设为对称轴为，开口向上的抛物线 则在上有两个相异实根a、， ∴ ∴， ∴在上为增函数． 6. 函数的图象的大致形状是 参考答案： B 略 7. 已知函数，则的值是（    ） A 27 B. －27 C. D. 参考答案： C 【分析】 首先计算出，再把的值带入计算即可。 【详解】根据题意得，所以，所以选择C 【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，属于基础题。 8. 圆x2+y2+2x﹣6y+1=0关于直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D． 参考答案： D 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可． 【解答】解：∵圆x2+y2+2x﹣6y+1=0?（x+1）2+（y﹣3）2=9， 圆x2+y2+2x﹣6y+1=0关于直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0）对称， ∴该直线经过圆心（﹣1，3）， 把圆心（﹣1，3）代入直线ax﹣by+3=0（a＞0，b＞0），得：﹣a﹣3b+3=0 ∴a+3b=3，a＞0，b＞0 ∴+=×（+）（a+3b）=（10++）≥， 当且仅当=时取得最小值， 故选：D． 　 9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，，M为AA1的中点，则异面直线AC与B1M所成角的余弦值为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与B1M所成角的余弦值． 【详解】以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则 , ∴ ，设异面直线AC与B1M所成角为θ， 则．∴异面直线AC与B1M所成角的余弦值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了用向量法求异面直线所成角的余弦值，属于基础题． 10. 如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 考点：简单空间图形的三视图． 专题：常规题型． 分析：由题意可以判断出两球在正方体的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住，排除A；得到正确选项． 解答： 解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被全挡住，由于两球不等，所以排除A；B正确； 故选B 点评：本题是基础题，考查几何体的三视图知识，本题的解答采用排除法，无限思想的应用，考查空间想象能力． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某几何体的三视图如图所示(单位: cm)，则该几何体的体积为__________cm3， 最长的棱长为__________cm. 参考答案： 16   6 【分析】 画出三视图对应的原图，根据锥体体积公式，求得几何体的体积，并计算出最长的棱长. 【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出原图如下图所示几何体.由三视图可知，四边形是直角梯形，且平面，，所以.，为三个直角三角形的公共直角边，所以，故最长的棱为. 故答案为： 16； 6. 【点睛】本小题主要考查根据三视图求原图的体积和最长的棱长，考查空间想象能力，属于基础题. 12. 已知等比数列中，，。若，则=      。 参考答案： 9 13. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 参考答案： 0.18 甲队要以，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况： .   14. 若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为        ． 参考答案： 15. 已知等于             。 参考答案： 16. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f（2）等于         ． 参考答案： 18 考点：函数在某点取得极值的条件；函数的值． 专题：计算题． 分析：对函数f（=x）求导的导函数，利用导函数与极值的关系进行求解． 解答： 解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或 当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值； 当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1） ∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴适合 ∴f（2）=8+16﹣22+16=18． 故答案为18． 点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，即在该点处导函数值为0． 17. 已知：数列满足，，则的最小值为______ 参考答案： 7  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （1）若 ，试求 ； （2）求 展开式中x的奇数次幂的项的系数之和。 参考答案： 解析：　　（1）在已知等式中令x=2得 　① 　　令x=0得 　　　②　　①-②得 　　∴ 　　（2）令 　　令x=1得③　　令x=-1得④ 　　③-④得 ，　∴ ，　即展开式x的奇数次方项的系数之和为41。 19. （12分）现有编号分别为1，2，3的三个不同的政治基本题和一道政治附加题：另有编号分别为4，5的两个不同的历史基本题和一道历史附加题。甲同学从这五个基本题中一次随即抽取两道题，每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的。    （1）用符号（）表示事件“抽到的两题的编号分别为、，且”共有多少个基本事件？请列举出来：    （2）求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于8但不小于4的概率。    （3）甲同学在抽完两道基本题之后又抽取一道附加题，做对基本题每题加5分，做对政治附加题加10分，做对历史附加题加15分，求甲同学得分不低于20分的概率。 参考答案： 解析：（1）共有10个等可能性的基本事件，列举如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），        （2，3），（2，4），（2，5）（3，4），（3，5），（4，5）。 （2）记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于8但不小于4”为事件A      由（1）可知事件共含有7个基本事件，列举如下：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3）， （2，4），（2，5），（3，4） （3）记事件B“做对政治附加题同时还需做对两道基本题”      记事件C“做对历史附加题同时还需至少做对一道基本题”      记事件D“甲同学得分不低于20分”      20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点． （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数． 参考答案： （Ⅰ）由题意知, ，又因为，解得 故椭圆方程为．                        …………………4分     略 21. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和 平均分； (Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人， 求他们在同一分数段的概率. 参考答案： 解析：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：   直方图如右所示 （Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 所以，抽样学生成绩的合格率是% 利用组中值估算抽样学生的平均分   ＝＝71 估计这次考试的平均分是71分 （Ⅲ）， ，”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。        22. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若的最小值为1，求a的值. 参考答案： （1）{x|－1＜x＜1}；（2）a＝－4或0.   试题解析：（Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝， 考点：不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质.