湖北省鄂州市沼山中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

湖北省鄂州市沼山中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为(     ) A．15 B．16 C．49 D．64 参考答案： A 【考点】数列递推式． 【专题】计算题． 【分析】直接根据an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得出结论． 【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15， 故选A． 【点评】本题考查数列的基本性质，解题时要注意公式的熟练掌握． 2. 袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是 A.  B. C.  D. 参考答案： D 【分析】 通过条件概率相关公式即可计算得到答案. 【详解】设“第一次摸到红球”为事件A，“第二次摸到红球”为事件B，而， ，故，故选D. 【点睛】本题主要考查条件概率的相关计算，难度不大. 3. 定义在上的奇函数,当≥0时, 则关于的函数(0<<1)的所有零点之和为（　　） A、1- B、 C、      D、 参考答案： A 略 4. 设展开式的各项系数的和为M，二项式系数的和为N，M-N=992，则展开式中 项的系数为                       (   )                                                    　　A. 250　　　　 B. –250　　　 C. 150　　　 D. –150         参考答案： B 略 5. 若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　　）.     A．若，则      B．若，则     C．若，则                 D．若，则 参考答案： D 6. 命题“若p则q”的逆命题是（　　） A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q 参考答案： A 【考点】四种命题． 【专题】简易逻辑． 【分析】将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得 【解答】解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题， 则命题“若p则q”的逆命题是若q则p． 故选A． 【点评】本题考查了命题与逆命题的相互关系的应用，属于基础题． 7. 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是(     ) A．＜，乙比甲成绩稳定 B．＜，甲比乙成绩稳定 C．＞，甲比乙成绩稳定 D．＞，乙比甲成绩稳定 参考答案： A 考点：茎叶图；众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：根据平均数的公式进行求解，结合数据分布情况判断稳定性 解答： 解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=， =（75+86+88+88+93）==86，则＜， 乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定， 故选：A 点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键． 8. 设是方程的解，则属于区间（   ）    A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3）    D.（3，4） 参考答案： D 略 9. 双曲线的一个焦点坐标是（　　） A． B． C． D．（1，0） 参考答案： A 10. （1+cosx）dx等于（　　） 　A．π 　　B． 2 　　C．π﹣2 　　D．π+2 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知命题p:函数在(0,1)内恰有一个零点；命题q:函数在(0,+∞)上是减函数，若为真命题，则实数a的取值范围是           ． 参考答案： 12. 圆上的点到直线的最大距离是_________。 参考答案： 13. 在数列{an}中，已知a2=4，a3=15，且数列{an+n}是等比数列，则an=         ． 参考答案： 2?3n﹣1﹣n； 考点：等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由于数列{an+n}是等比数列，可得，解得a1．即可得到公比q==．再利用等比数列的通项公式即可得出． 解答： 解：∵数列{an+n}是等比数列，∴， ∴（4+2）2=（a1+1）×（15+3），解得a1=1． ∴公比q==． ∴an+n=2×3n﹣1． ∴an=2?3n﹣1﹣n， 故答案为：2?3n﹣1﹣n． 点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式，属于基础题． 14. 已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是          ． 参考答案： 由题意可得：，即切线的斜率取值范围为， 据此可知倾斜角α的取值范围是.   15. 顶点在原点，对称轴为轴，且过点的抛物线的标准方程是                . 参考答案： 略 16. 一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是  参考答案： 17. 抛物线的离心率是             参考答案： １ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值？若是, 请给予证明；若不是, 请说明理由. 参考答案： 解：（1）由，得，故椭圆方程为， 又椭圆过点,则，解之得， 因此椭圆方程为 (2)设直线的斜率为，，由题，直线MA与MB的斜率互为相反数，直线MB的斜率为，联立直线MA与椭圆方程： ， 整理得，由韦达定理，， ，整理可得， 又 所以为定值. 略 19. 设函数.           (1)对于任意实数,恒成立,求的取值范围； (2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围.           参考答案： 解:(1) ,   因为,, 即 恒成立,   所以 , 得,即的最大值为   (2) 因为当时,;当时, ;当时, ;   所以 当时,取极大值 ;              当时,取极小值 ;   故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. 略 20. 已知变换T把平面上的点A（2，0），B（0，）分别变换成点A'（2，2），B'（﹣，）． （1）试求变换T对应的矩阵M； （2）若曲线C在变换T的作用下所得到的曲线的方程为x2﹣y2=4，求曲线C的方程． 参考答案： 【考点】OC：几种特殊的矩阵变换． 【分析】（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可； （2）先设P（x，y）是曲线C上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可． 【解答】解：（1）设矩阵M=，根据题意得=，则， A（2，0），变换为A'（2，2），得：a=1，c=1， B（0，）变换为B'（﹣，），得：b=﹣1，d=1， ∴矩阵M=； （2）变换T所对应关系， 代入x2﹣y2=4，得：xy=﹣1， 若曲线C：xy=﹣1，在变换T的作用下所得到的曲线的方程为x2﹣y2=4， 曲线C的方程xy=﹣1． 21. （10分）设a,b,c是不全相等的正数，求证（a+b）（b+c）(c+a)>8abc 参考答案： 证明：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得、、，又a，b，c不全相等，所以（a+b）（b+c）(c+a)>8abc 22. 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：   喜欢数学课程 不喜欢数学课程 　　总　计 　　　男 　　　37 　　　85 　　　122 　　　女 　　　35 　　　143 　　　178 　　总　计 　　　72 　　　228 　　　300 由表中数据计算得到的观察值. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？ 参考公式与数据： P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001   k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 参考答案：