湖北省随州市广水武元中学高二数学理下学期期末试卷含解析

湖北省随州市广水武元中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA 、sinB、 sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（     ） A．直角三角形              B. 钝角三角形 C．等腰直角三角形          D．等边三角形 参考答案： D 2. 已知函数的导函数的图像如右图，则（    ） A．函数有1个极大值点，1个极小值点 B．函数有2个极大值点，3个极小值点 C．函数有3个极大值点，1个极小值点 D．函数有1个极大值点，3个极小值点 参考答案： A 略 3. 已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　) A．a>b>c      B．a>c>b       C．b>a>c       D．c>a>b 参考答案： B 4. 抛物线y=x2的准线方程是（　　） A．4y+1=0 B．4x+1=0 C．2y+1=0 D．2x+1=0 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据抛物线的方程，可求得q，进而根据抛物线的性质可知其准线方程． 【解答】解：抛物线y=x2，P=，准线方程为y=，即4y+1=0 故选A． 5. 下列求导运算正确的是 A．                    B． C．                    D． 参考答案： B 6. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（     ） A．3   B．2          C．1   D． 参考答案： A 7. 曲线y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（　　） A．[，+∞） B．（，] C．（0，） D．（，] 参考答案： B 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围． 【解答】解：y=1+可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分． 直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个． 且kAP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=， 则实数k的取值范围为， 故选B． 【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，注意函数的定义域，以及斜率范围的确定，可以采用估计法解答． 8. 某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】频率分布直方图． 【分析】根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论． 【解答】解：由频率分布直方图可知： [5，10）的频数为20×0.01×5=1个，排除B， [25，30）频数为20×0.03×5=3个，排除C，D， 则对应的茎叶图为A， 故选：A． 9. 命题“存在，的否定是（    ） A. 不存在， B. 存在， C. 对任意的， D. 对任意的， 参考答案： D 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题的有关知识，选出正确选项. 【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，主要到要否定结论，故只有D选项符合. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题. 10. “a＝－1”是方程“a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0”表示圆的(　　) A．充分非必要条件  B．必要非充分条件  C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 命题“?x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　　． 参考答案： [﹣2，2] 【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题． 【分析】根据题意，原命题的否定“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0． 【解答】解：原命题的否定为“?x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2． 故答案为：[﹣2，2] 【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用． 12. 直线交抛物线于A，B两点，若AB中点的横坐标是2,则________. 参考答案： 13. 如图，在梯形中，，点在的内部（含边界）运动，则的取值范围是          ． 参考答案： 14. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{an}是等积数列，且a1＝3，公积为15，那么a21＝______ 参考答案： 3 15. 一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是_▲_米/秒． 参考答案： 5 16. 已知直线和平面，下列推理错误的是：      。 ①且      ②∥且   ③∥且∥      ④且∥或 参考答案： ③ 略 17. 已知点，是椭圆的动点。若点恰在椭圆的右顶点时，两点的距离最小，则实数的取值范围为____________。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分） 某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选． （1）设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 参考答案： 解：（1）的所有可能取值为0，1，2． 依题意，得，   ，  ． ∴的分布列为 0 1 2 ∴ 。                           …………………7分 （2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件， 则，，   ∴． 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为．    …………12分 19. （12分）用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积. 参考答案： 设容器底面宽为m，则长为(＋0.5)m，高为(3.2－2)m. 由解得0<<1.6， 设容器的容积为ym3，则有 y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x， y′＝－6x2＋4.4x＋1.6， 令y′＝0，即－6x2＋4.4x＋1.6＝0，  解得x＝1，或x＝－(舍去)． ∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x＝1使y′＝0，且x＝1是极大值点， ∴当x＝1时，y取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2m. 因此，容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3.   20. 已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列，且a1a5=45，a2+a4=18，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=2bn﹣2． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn； （3）将数列{bn}中第a1项，第a2项，…，第an项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{dn}，求数列{dn}的前2014项和M2014． 参考答案： 考点： 数列的求和；等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）等差数列{an}公差d＞0，利用等差数列的通项公式可得，解得即可． 数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=2bn﹣2．可得n=1时b1=2b1﹣2，解得b1．当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1，化为bn=2bn﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出． （2）cn=an?bn=3n?2n，利用“错位相减法”可得数列{cn}的前n项和Tn． （3）将数列{bn}中第a1项，第a2项，…，第an项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{dn}， 可得d1=b1=2，d2=，d3=b4=24，，…，其奇数项与偶数项分别组成公比均为8的等比数列． 利用等比数列的前n项和公式即可得出． 解答： 解：（1）∵等差数列{an}公差d＞0，且a1a5=45，a2+a4=18， ∴，解得． ∴an=3+3（n﹣1）=3n． ∵数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=2bn﹣2． ∴n=1时b1=2b1﹣2，解得b1=2．当n≥2时， bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2﹣（2bn﹣1﹣2），化为bn=2bn﹣1， ∴数列{bn}是等比数列，bn=2n． （2）cn=an?bn=3n?2n，则数列{cn}的前n项和Tn=3（2+2×22+3×23+…+n?2n）， 2Tn=3[22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1]， 两式相减可得：﹣Tn=3（2+22+…+2n﹣n?2n+1）==3（1﹣n）?2n+1﹣6， 化为Tn=6+3（n﹣1）?2n+1． （3）将数列{bn}中第a1项，第a2项，…，第an项，…删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{dn}， 则d1=b1=2，d2=，d3=b4=24，，…， 则其奇数项与偶数项分别组成公比均为8的等比数列． 数列{dn}的前2014项和M2014=（d1+d3+…+d2013）+（d2+d4+…+d2014） =+ =． 点评： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21. 设函数． （1）若，求函数f(x)的单调区间． （2）若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围． （3）过坐标原点O作曲线的切线，证明：切点的横坐标为1． 参考答案： （1）单调减区间为，单调增区间为．（2）（3）见解析 试题分析：（1）当时，求出函数的导函数，分别令和，解出不等式得单调区间；（2）函数在区间上是减函数，即对任意恒成立，利用分离参数法可得最后结果；（3）设切点为，对函数进行求导，根据导数的几何意义得，根据切线过原点，可得斜率为，两者相等化简可得，先证存在性，再通过单调性证明唯一性. 试题解析：（1）当时，，，令，则，令，则，∴函数的单调减区间为，单调增区间为． （2），∵在区间上是减函数，∴对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则，易知在上单调递减，∴，∴． （3）设切点为，，∴切线的斜率， 又切线过原点，，∴，即， ∴，存在性，满足方程， 所以是方程的根唯一性， 设，则，∴在上单调递增，且，∴方程有唯一解，综上，过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为1． 点睛：本题主要考察了导数与函数单调性的关系，导数的几何意义，属于中档题；由，得函数单调递增，得函数单调递减；函数单调递减等价于恒成立，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.   22. 已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点． （Ⅰ）