湖北省黄冈市中心中学高三数学理下学期期末试卷含解析

湖北省黄冈市中心中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （文科）有5名班委进行分工，其中A不适合做班长，B只适合作学习委员，则不同的分工方案种数为 A．18           B．24              C．60               D． 48 参考答案： A 2. 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球的球面上，球的表面积是    A.          B.             C.          D. 参考答案： 【知识点】由三视图求表面积、体积  G2 【答案解析】C  解析：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，底面为等腰直角三角形，如图： SA⊥平面ABC，SA=2，AD的中点为D， 在等腰直角三角形SAC中，取O为SC的中点， ∴OS=OC=OA=OB， ∴O为三棱锥外接球的球心，， ∴外接球的表面积 故选：C 【思路点拨】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为等腰直角三角形，取O为SC的中点，可证OS=OC=OA=OB，由此求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算。 3. .若，满足则的最大值为（    ） A．5         B．－1       C．－3        D．－7 参考答案： B 4. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递减，若实数a满足f（log3a）+f（）≥2f（1），则a的取值范围是（　　） A．（0，3] B．（0，] C．[，3] D．[1，3] 参考答案： C 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合． 【分析】由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1），即为f（|log3a|）≥f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，得到|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1，解出即可． 【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数， 则f（﹣x）=f（x），即有f（x）=f（|x|）， 由实数a满足f（log3a）+f（）≥2f（1）， 则有f（log3a）+f（﹣log3a）≥2f（1）， 即2f（log3a）≥2f（1）即f（log3a）≥f（1）， 即有f（|log3a|）≥f（1）， 由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减， 则|log3a|≤1，即有﹣1≤log3a≤1， 解得≤a≤3． 故选C． 5. 某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为45°的直角梯形，则该多面体的体积为（　　） A. 1 B. C. D. 2 参考答案： C 由题可知，， 所以，故选C。 6. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 参考答案： D 7. 把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为(     ) A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（2x+），x∈R C．y=sin（+），x∈R D．y=sin（x﹣），x∈R 参考答案： C 【考点】向量的物理背景与概念． 【专题】计算题． 【分析】先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w的值变为原来的 倍，得到答案． 【解答】解：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+）， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以 x代x，得到函数：y=sin（ x+）． 故选C． 【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．属基础题． 8. 已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率P的取值范围是  A．（1，+∞）    B．（1，2） C．（1，l+）    D．（2，1+） 参考答案： B 9. 已知椭圆C： =1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣）∪（0，） B．（﹣∞，0）∪（0，） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣∞，0）∪（0，1） 参考答案： D 【考点】圆与圆锥曲线的综合． 【分析】取特殊点P（0，2），P（0，﹣2），求出，利用排除法，可得结论． 【解答】解：取特殊点P（0，2），则PA方程为y=x+2 与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=﹣2或﹣，所以Q（﹣，）， ∴kPB=﹣1，kQF==﹣， ∴=． 同理取P（0，﹣2），=﹣． 根据选项，排除A，B，C， 故选D． 【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题． 10. 给出下列命题： (1)已知事件是互斥事件，若，则； (2)已知事件是互相独立事件，若，则(表示事件的对立事件)； (3)的二项展开式中，共有4个有理项． 则其中真命题的序号是   　 (  　)． A．(1)、(2)．   　B．(1)、(3)．     C．(2)、(3)．     D．(1)、(2)、(3)． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 补写出下列名句名篇中的空缺部分。（任选一题共5分）   （1）古诗中有很多佳句对写作具有启发指导作用，如：运用虚中见实表现手法，以无声衬有声，白居易写的“＿＿＿＿＿＿”；主张写作要从读书中获得渊博知识修养，杜甫写的“＿＿＿＿＿＿ ，＿＿＿＿”；强调读书与实践并重，董其昌写的“＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿”。   （2）恰同学少年，风华正茂；书生意气，挥斥方遒。＿＿＿＿＿＿，＿＿＿， ＿＿＿＿＿，曾记否，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。（毛泽东《沁园春.长沙》） 参考答案： （1）此时无声胜有声；读书破万卷，下笔如有神；读万卷书，行万里路（2）指点江山，激扬文字，粪土当年万户侯。到中流击水，浪遏飞舟 12. 设x是正实数，若n∈N﹡时，不等式（nx－20）ln（）≥0恒成立，则x的取值范围是____________． 参考答案： 略 13. 已知变量满足，设，则的最大值为       . 参考答案：   14. 定义在实数集R上的函数，如果存在函数，使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. 下列说法正确的有： .（写出所有正确说法的序号） ①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； ②为函数的一个承托函数； ③函数不存在承托函数； ④函数，若函数的图象恰为在点处的切线，则为函数的一个承托函数. 参考答案： ①② 15. 在（的展开式中，x的系数是_________。（用数字作答） 参考答案： 略 16. 已知向量，若且方向相反，则          ． 参考答案： －5   17. 函数单调递减区间为　　　　　　　　　 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列满足，. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设，求数列的前项和. 参考答案： 略 19. 在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，且M，N分别为AB，BC上的点，沿线段MD，DN，NM分别将△AMD，△CDN，△BNM折起，A，B，C三点恰好重合于一点P． （1）证明：平面PMD⊥平面PND； （2）若cos∠DPN=，PD=5，求直线PD与平面DMN所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【分析】（1）运用折叠的性质和线面垂直的判定，可得PM⊥平面PND，再由面面垂直的判定定理，即可得证； （2）设点P到平面DMN的距离为h，运用三角形的面积公式和梯形的面积公式，再由V三棱锥P﹣MND=V三棱锥M﹣PND，运用三棱锥的体积公式，计算即可得到h，进而得到所求线面角的正弦值． 【解答】（1）证明：由折叠的性质可知， PM⊥PD，PM⊥PN，且PD∩PN=P， ∴PM⊥平面PND， 又∵PM?平面PMD， ∴平面PMD⊥平面PND； （2）解：∵， ∴在梯形ABCD中，有， 过点D作DD'⊥BC，垂足为D'， 则DD'=AB=5sin∠DCN=4，D'C=5sin∠DCN=3， 由题可知，， 则S△PDN=S△DNC=×4×4=8， S△MND=S梯形ABCD﹣S△AMD﹣S△BMN﹣S△DNC =×（5+8）×4﹣×5×2﹣×2×4﹣8=9， 设点P到平面DMN的距离为h， V三棱锥P﹣MND=V三棱锥M﹣PND， 即， 解得，即点P到平面DMN的距离为， 设直线PD与平面DMN所成角为θ， 则其正弦值． 20. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点. （I）求椭圆C的标准方程； （II）已知点A为椭圆C的下顶点，D，E为椭圆C上与A不重合的两点，若直线AD与直线AE的斜率之和为，试判断是否存在定点G，使得直线DE恒过点G，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 解：（I）∵椭圆的离心率，∴，即， ∵点在椭圆上，∴，由解得， ∴椭圆的标准方程为．………………………………………………4 （II）由（I）知，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入得，，∴，即．设，则，………………………………………………6 ∵直线与直线的斜率之和为， ∴ ，整理得，………………………………………………8 ∴直线的方程为，显然直线经过定点． 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， ∵直线与直线的斜率之和为，设，则， ∴，解得，………………………………………………10 此时直线的方程为，显然直线经过定点． 综上，存在定点，使得直线恒过点．………………………………………………12   21. 设函数f（x）=emx﹣mx2． （1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程； （2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围； （3）求证：． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】方程思想；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程； （2）求出f（x）的导数，设g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，讨论m的范围，结合单调性，即可得到m的范围； （3）令m=1，由（2）得ex＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证． 【解答】解：（1）m=2时，f（x）=e2x﹣2x2，f′（x）=2e2x﹣4x； ∴f′（0）=2，又f（0）=1； 则切线L1方程为：y=2x+1； （2）f′（x）=memx﹣2mx，设g（x）=f′（x）， g′（x）=m2emx﹣2m=m（memx﹣2）， 令