湖北省襄阳市襄樊第三中学2022年高二数学理测试题含解析

湖北省襄阳市襄樊第三中学2022年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，则其导函数f′（x）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案． 【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx， ∴f′（x）=x2cosx+cosx， ∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x）， ∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B， 当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D， 故选：C． 【点评】本题考查了导数的运算法则和函数图象的识别，属于基础题． 2. 已知直线l1的方向向量，若直线过（0，5）且l1⊥l2，则直线l2的方程为                                              （  ）    A．   B．   C．    D． 参考答案： B 3. 已知两点，则线段的垂直平分线的方程为 A.     B.     C.     D.  参考答案： B 4. 设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的取值范围为（　　） A．（﹣3，3） B．[﹣3，3] C．[﹣3，3） D．[﹣2，2] 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】解：由z=x﹣2y得y=， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线y=， 由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时z最大， 代入目标函数z=x﹣2y，得z=3， ∴目标函数z=x﹣2y的最大值是3． 当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大， 此时z最小， 由，得，即B（1，2） 代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×2=﹣3 ∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3． 故﹣3≤z≤3， 故选：B 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（　　） A．   B． C． D． 参考答案： C 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】根据新定义直接判断即可 【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间， 个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示， 则9117 用算筹可表示为， 故选：C 6. 阅读如右图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是(　　) A.1  B．2  C．3  D．4 参考答案： D 7. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则（ ***** ） A.          B. C.          D. 参考答案： C 8. 已知函数f（x）=，则（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】定积分． 【分析】先根据条件可化为（x+1）2dx+dx，再根据定积分以及定积分的几何意义，求出即可． 【解答】解： （x+1）2dx+dx， ∵（x+1）2dx=（x+1）3|=， dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一， 故dx=π， ∴（x+1）2dx+dx==， 故选：B 9. △ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　） A． B． C．1 D． 参考答案： B 【考点】三角形的面积公式． 【专题】解三角形． 【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出． 【解答】解：S△ABC===． 故选B． 【点评】本题考查了三角形面积公式S△ABC=，属于基础题． 10. 在△ABC中，AB=2，AC=3， =，则?=（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： D 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用． 【分析】根据题意，画出图形，结合图形，用向量、表示出与，再求它们的数量积． 【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=2，AC=3， ∴==（﹣）， ∴D是BC的中点， ∴=（+）； ∴?=（+）?（﹣） =（﹣） =×（32﹣22） =． 故选：D． 【点评】本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，是基础题目． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△的边上有个点，边上有个点，加上点共个点，以这个点为顶点的三角形有      个. 参考答案：     解析： 12. 若命题p:R是真命题,则实数a的取值范围是       . 参考答案： 略 13. 在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7, 此三角形的最大内角的度数等于________. 参考答案： 1200 14. “”是“”          ▲              条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一） 参考答案： 充分不必要 15. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x（x∈N）的关系为y=－x2+12x－25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大. A.2                 B.4                 C.5                 D.6 参考答案： C 16. 若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的系数为       （用数字作答）. 参考答案： －126 17. 已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（x）的单调减区间为　    　． 参考答案： （0，+∞） 【考点】幂函数的性质． 【分析】设幂函数f（x）=xα（α为常数），由图象过点（2，），可得=2α，解得α即可得出． 【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数）， ∵图象过点（2，），∴=2α，解得α=﹣2． ∴f（x）=． 则f（x）的单调减区间为（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由． （1）焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为； （2）点到双曲线上动点的距离最小值为． 参考答案： 解，由（1）知，设双曲线为x2-4y2=λ(λ<0) 设P(x0,y0)在双曲线上，由双曲线焦点在y轴上，x0∈R A(5,0) |PA|2=(x0-5)2+y02 双曲线由： 略 19. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1． （ I） 求二面角C﹣DE﹣C1的正切值； （ II） 求直线EC1与FD1所成的余弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离． 【专题】计算题；综合题． 【分析】（ I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A﹣xyz，写出要用的点的坐标，设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果． （ II）把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角． 【解答】解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系， 则有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2） 于是， =（﹣4，2，2） 设向量与平面C1DE垂直，则有cosβ=z ∴（﹣1，﹣1，2），其中z＞0 取DE垂直的向量， ∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直， ∴的平面角 ∵cosθ= ∴tanθ=， ∴二面角C﹣DE﹣C1的正切值为； （II）设EC1与FD1所成角为β，则cosβ=， ∴直线EC1与FD1所成的余弦值为． 【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，本题解题的关键是建立适当的坐标系，写出要用的空间向量，把立体几何的理论推导变成数字的运算，这样降低了题目的难度． 20. 已知函数f（x）=，g（x）=af（x）﹣|x﹣1|． （Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围； （Ⅱ）当a=1时，求g（x）的最大值． 参考答案： 【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3R：函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）当a=0时，若g（x）≤|x﹣2|+b对任意x∈（0，+∞）恒成立，﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|，求出右边的最小值，即可求实数b的取值范围； （Ⅱ）当a=1时，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，即可求g（x）的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，g（x）=﹣|x﹣1|，∴﹣|x﹣1|≤|x﹣2|+b， ∴﹣b≤|x﹣1|+|x﹣2|， ∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|x﹣1+2﹣x|=1，∴﹣b≤1，∴b≥﹣1… （Ⅱ）当a=1时，… 可知g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 … ∴g（x）max=g（1）=1．… 21. （本小题满分12分）已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，，求（1）对角线的长。（2）直线和夹角的余弦值。 参考答案： 解：（1） （2），            略 22. 已知两圆和 （1）m取何值时，两圆外切；     （2）m取何值时，两圆内切； （3）求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 参考答案： 解：圆，：圆. 圆心，…………………………………2分 （1）若两圆外切，则，即，所以；4分 （2）若两圆内切，则，即，所以.8分 （3）圆 ①， 圆②. ①-②,得 两圆的公共弦所在直线的方程为………………………12分 公共弦长为…………………………………16分