湖北省武汉市青云中学高三数学文期末试卷含解析

湖北省武汉市青云中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合M＝{﹣1,2,3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为(    ) A. 1或﹣1 B. ﹣1 C. 1 D. 2 参考答案： B 【分析】 由A与B的交集，得到元素3属于A，且属于B，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，经检验即可得到满足题意a值． 【详解】∵A∩B＝{3}， ∴3∈A且3∈B， ∴a+2＝3或a2+2＝3， 解得：a＝1或a＝﹣1， 当a＝1时，a+2＝3，a2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a＝﹣1． 故选B 【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2. 已知集合，则            （   ） A．     B．  C．    D． 参考答案： D 略 3. 在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，为直线ON的倾斜角，若，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据对称性，得到、两点的坐标，从而得到，然后根据的范围，得到的范围，从而得到离心率的范围. 【详解】在轴上，且平行四边形中，， 、两点的横坐标相等， 纵坐标互为相反数，即、两点关于轴对称， 而， 可设，， 代入椭圆方程得：，得， 为直线的倾斜角， ， ，， ， 而． 椭圆的离心率的取值范围为 ． 故选A项． 【点睛】本题考查椭圆的离心率的表示方法，通过几何关系得到的关系，从而求出离心率的范围，属于中档题. 4. 设函数有三个零点 则下列结论正确的是（     ） A.            B.            C.       D. 参考答案： C 因为，，，，所以函数的三个零点分别在之间，又因为所以，选C. 5. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（　　） A．6π B．7π C．8π D．12π 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求出表面积． 【解答】解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为． 故选B． 　 6. 已知集合,,则（    ） A．(－2,0)         B．(0,2]       C．(0,1]      D．[0,1] 参考答案： C 本题考查集合的补集、交集运算,考查运算求解能力. 因为,,所以. 7. 已知函数，，则的值为 A．2             B．-2       C．6       D．-6 参考答案： B 试题分析：，故函数为奇函数，，故答案为B． 考点：奇函数的应用． 8. 设α是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tan2α=(     ) A． B．﹣ C． D．﹣ 参考答案： A 【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义． 【专题】三角函数的求值． 【分析】由三角函数的定义可得x的方程，解方程可得cosα，再由同角三角函数的基本关系可得tanα，由二倍角的正切公式可得． 【解答】解：由三角函数的定义可得cosα=， 又∵cosα=x，∴=x， 又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x=﹣3 ∴cosα=﹣，sinα==， ∴tanα==﹣ ∴tan2α== 故选：A 【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及三角函数的定义和同角三角函数的基本关系，属基础题． 9. 已知函数在点处连续，则        。 参考答案： 10. 由曲线，直线所围成的平面图形的面积为(　　) A.    B．2－ln 3     C．4＋ln 3  D．4－ln 3 参考答案： 【知识点】定积分在求面积中的应用．B13 【答案解析】D  解析：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3）， 由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3）， ∴由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为 （3﹣）dx+（3﹣x）dx=（3x﹣lnx）+（3x﹣x2）=（3﹣1﹣ln3）+（9﹣﹣3+）=4﹣ln3，故选：D． 【思路点拨】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 满足成立的的取值范围是                . 参考答案： (1/3，1/2] 12. 已知函数的图象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点，则线段PQ长的最小值为     参考答案：     13. 若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是                                   。 参考答案： 略 14. 已知平面向量，，则与的夹角余弦值等于      。 参考答案： 15. 曲线=（2﹣x） 的焦点是双曲线C的焦点，点（3，﹣）在C上，则C的方程是　　　　　　． 参考答案： 　3x2﹣y2=1　 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： =（2﹣x） 可化为，焦点为（±1，0），设双曲线方程为，代入点（3，﹣），求出a2=，即可求出C的方程． 解答： 解：=（2﹣x） 可化为，焦点为（±1，0）， 设双曲线方程为， ∵点（3，﹣）在C上， ∴， ∴a2=， ∴C的方程是3x2﹣y2=1． 故答案为：3x2﹣y2=1． 点评： 本题考查双曲线方程，考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 16. 当和取遍所有实数时，恒成立，则的最小值为               . 参考答案： 17. 由1，4，5，x可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x  的值为________ 参考答案： 2  【知识点】计数原理的应用．J1 解析：当x≠0时，有A44=24个四位数，每个四位数的数字之和为1+4+5+x 故24（1+4+5+x）=288，解得x=2；当x=0时，每个四位数的数字之和为1+4+5=10，而288不能被10整除，即x=0不合题意，总上可知x=2，故答案为：2． 【思路点拨】根据题意，分情况讨论讨论，当x≠0时，四个数字进行全排列得到四位数，每个四位数的数字之和为1+4+5+x，24个四位数总和是24（1+4+5+x）=288得到x=2；当x=0时，288不能被10整除，即x=0不合题意，得到结果． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）   篮球 排球 总计 男同学 16 6 22 女同学 8 12 20 总计 24 18 42 （Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？ （Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率； ②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题. 参考答案： （Ⅰ）由表中数据得K2的观测值 k≈4.582>3.841.                  ……2分 所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分 （Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学． 方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则 P(A∩B)，P(A). 所以P(B|A) .                        ……7分 方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”， 则P(C). ②由题知X的可能值为0，1，2. 依题意P(X0)；P(X1)；P(X2).        从而X的分布列为 X 0 1 2 P                                                                       ……10分 于是E(X)0×＋1×＋2×.                                  ……12分 19. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的参数方程为（φ为参数）． （1）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？ （2）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．若C1上的点P对应的参数为，点Q在C2上，点M为PQ的中点，求点M到直线l距离的最小值． 参考答案： 解：（1）的普通方程为， 它表示以为圆心，1为半径的圆， 的普通方程为， 它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆． （2）由已知得，设，则， 直线：， 点到直线的距离， 所以，即到的距离的最小值为． 20. 如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点 （1）证明：AD⊥平面DEF （2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值． 参考答案： 考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法． 专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何． 分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF； （2）利用（1）中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理． 解答： 解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=， 发现AG2+BG2=AB2，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG ∴DE⊥AD， 又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G， ∴AD⊥平面PBG，而PB?平面PBG， ∴AD⊥PB，又PB∥EF， ∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF． （2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角， 在△PBG中，PG=，BG=，PB=2， 由余弦定理得cos∠PGB=， 因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为． 点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题． 21. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥AC，M是的中点，N是BC的中点，点P在直线