湖北省武汉市蔡家湾中学2022年高二数学理期末试题含解析

湖北省武汉市蔡家湾中学2022年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 840和1764的最大公约数是（     ） A．84       B．  12  C．  168         D．  252 参考答案：      A 2. 设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则 (　　) A．  B．  C．  D． 参考答案： B 略 3. 若幂函数 的图像经过原点，则m的值为（    ） A. 1或3 B. 2或3 C. 3 D. 2 参考答案： C 【分析】 利用幂函数的图像与性质即可得到结果. 【详解】∵幂函数 的图像经过原点， ∴即 故选：C 【点睛】本题考查幂函数的图像与性质，考查运算能力，属于基础题. 4. 已知x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值与最小值的比值为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： D 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；数形结合． 【分析】本题处理的思路为：根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最值，即可求解比值． 【解答】解：约束条件 对应的平面区域如下图示： 当直线z=2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6． 当直线z=2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3， 故z=2x+y的最大值与最小值的比值为：2． 故选D． 【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值． 5. 已知双曲线:右支上非顶点的一点关于原点的对称点为,为其右焦点,若,设,且,则双曲线离心率的取值范围是 (    ) A．         B．       C.          D． 参考答案： B 6. 读两段程序： 对甲、乙程序和输出结果判断正确的是（　　） A．程序不同，结果不同 B．程序不同，结果相同 C．程序相同，结果不同 D．程序相同，结果相同 参考答案： B 【考点】EF：程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并打印S值 【解答】解：程序甲是计数变量i从1开始逐步递增直到i=1000时终止， 累加变量从0开始，这个程序计算的是：1+2+3+…+1000； 程序乙计数变量从1000开始逐步递减到i=1时终止， 累加变量从0开始，这个程序计算的是1000+999+…+1． 但这两个程序是不同的．两种程序的输出结果都是：S=1+2+3+…+1000=500500． 故选B． 【点评】考查由框图分析出算法结构的能力，本题考查是循环的结果． 7. “命题为真命题”是“命题为真命题”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为由为真命题，得p、q均为真命题，能推出真命题，但反之不成立，所以，是充分不必要条件 故答案为：A 8. 若，则等于（    ） A．8         B．7       C．6       D．5 参考答案： C 9. 图2给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是  A．   B．     C．     D．  参考答案： A 10. 已知命题p与命题q，若命题：（￢p）∨q为假命题则下列说法正确是（　　） A．p真，q真 B．p假，q真 C．p真，q假 D．p假，q假 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】由已知中命题：（￢p）∨q为假命题，结合复合命题真假判断的真值表，可得答案． 【解答】解：若命题：（￢p）∨q为假命题， 则命题（￢p），q均为假命题， 故命题p为真命题，q为假命题， 故选：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设随机变量,则         . 参考答案： 略 12. 不等式的解集是  　　． 参考答案： 13. 方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是　     　． 参考答案： （﹣∞，） 【考点】二元二次方程表示圆的条件． 【分析】根据圆的一般方程即可得到结论． 【解答】解：若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一个圆， 则满足1+1﹣4m＞0， 即m＜， 故答案为：（﹣∞，）． 14. 复数的共轭复数是       。 参考答案： 略 15. （5分）（2013?宣武区校级模拟）（3x2+k）dx=10，则k=　 　． 参考答案： 1 【分析】欲求k的值，只须求出函数3x2+k的定积分值即可，故先利用导数求出3x2+k的原函数，再结合积分定理即可求出用k表示的定积分．最后列出等式即可求得k值． 【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx =（x3+kx）|02 =23+2k． 由题意得： 23+2k=10， ∴k=1． 故答案为：1． 【点评】本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 16. 命题“”的否定是    ▲  ． 参考答案： 17. 化简的结果是    A． B．   C．    D． 参考答案： A 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=，且4sin2﹣cos2A=． （1）求角A的大小；          （2）求△ABC的周长l取值范围． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】计算题；转化思想；定义法；解三角形． 【分析】（1）由二倍角公式化简得到2（1﹣cosA）﹣2（cos2A﹣1）=，解得即可； （2）由由正弦定理===2，得到b=2sinB，c=2sinC，再根据三角函数的性质即可求出． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵4sin2﹣cos2A=， ∴2（1﹣cosA）﹣2（cos2A﹣1）= 解得cosA=， ∴A=； （2）由正弦定理===2， ∴b=2sinB，c=2sinC， ∴l=+2sinB+2sinC=+2sin（B+）， ∵0＜B＜， ∴＜sin（B+）≤1， ∴2＜l≤3． 【点评】本题考查了三角函数的化简以及正弦定理得应用，属于中档题． 19. 过（4，0）的直线与抛物线y2=4x交于A（x1y1），B（x2，y2）两点． （1）求证：x1x2，y1y2均为定值． （2）求证：以线段AB为直径的圆经过一定点，并求出该定点的坐标． 参考答案： 【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质． 【分析】（1）过点P（4，0）且斜率为k的直线l的方程为：y=k（x﹣4）．联立抛物线方程，由韦达定理可得x1?x2=16，y1?y2=﹣16，又由直线斜率不存在时，x1?x2=16，y1?y2=﹣16也成立，可得结论； （2）由图形关于x轴对称，得定点在x轴上，设定点坐标为K（m，0），可得m=0，即以线段AB为直径的圆经过必过原点（0，0）． 【解答】证明：过点P（4，0）且斜率为k的直线l的方程为：y=k（x﹣4）．… 把y=k（x﹣4）代入y2=4x，消去y得 k2x2﹣（8k2+4）x+16k2=0， 由于直线与抛物线交于不同两点， 故k2≠0且△＞0， x1?x2=16，而y1?y2＜0， ∴y1?y2=﹣16．… 当过点P（4，0）且斜率不存在时，也满足x1?x2=16，y1?y2=﹣16 综上可得：x1x2，y1y2均为定值． （2）由图形关于x轴对称，得定点在x轴上，设定点坐标为K（m，0）， ①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB方程为x=2， 求得A（4，4），B（4，﹣4）， 显然，以AB为直径的圆恒过定点（0，0），（8，0）； ②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣4），代入y2=4x： 得k2x2﹣（8k2+4）x+16k2=0； 设A（x1，2），B（x2，﹣2）， 由根与系数的关系得，x1+x2=，x1x2=16； 则y1+y2=k（x1+x2﹣8）=，|AB|=， 此时圆心坐标为：（，），半径r=， 此时圆心到原点的距离等于半径， 故以线段AB为直径的圆经过必过原点（0，0）． 20. 已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆G于A、B两点. （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将表示为的函数，并求的最大值. 参考答案： 略 21. 已知函数． （1）解不等式； （2）若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数m的取值范围； （3）若函数，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： （1）原不等式即为，设t=2x，则不等式化为t﹣t2＞16﹣9t， 即t2﹣10t+16＜0，解得，即，∴1＜x＜3，∴原不等式的解集为 (1,3)．…………4分 （2）函数在[－1,1]上有零点，∴在[－1,1]上有解，即在[－1,1]有解． 设，∵，∴， ∴．∵在[－1,1]有解，∴，故实数m的取值范围为．…………8分 （3）由题意得，解得． 由题意得， 即 对任意恒成立，令，，则． 则得对任意的恒成立， ∴对任意的恒成立， ∵在上单调递减，∴． ∴，∴实数的取值范围．…………12分 22. （12分）．如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA = 2，AD = DC = 1，点E在SD上，且AE⊥SD。 （1）证明：AE⊥平面SDC； （2）求三棱锥B—ECD的体积。 参考答案： (Ⅰ)证明：侧棱底面，底面 .                     ……………………….1分 又底面是直角梯形，垂直于和 ,又 侧面,……………………….3分 侧面 平面……………………….5分 (Ⅱ)            ……7分 在中                   ，                                      ……9分 又因为， 所以点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE                 ……11分 所以                                      ……12分