湖北省荆州市万家镇中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析

湖北省荆州市万家镇中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知单位向量、满足⊥，则函数f（x）=（x+）2 （x∈R）（　　） A．既不是奇函数也不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是偶函数 D．是奇函数 参考答案： C 【考点】函数奇偶性的判断． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】由题意可得?=0，函数f（x）=（x+）2 =x2+1，由此可得函数的奇偶性． 【解答】解：由题意可得?=0，||=||=1， ∴函数f（x）=（x+）2 =x2+2?x+1=x2+1， 显然，函数f（x）为偶函数， 故选C． 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，函数的奇偶性的判断，属于中档题． 2. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是 A．     B．     C．     D. 参考答案： D 3. 要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2x﹣）的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 参考答案： B 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的图象，把平移过程逆过来可得结论． 【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位即可得到函数 y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣） 的图象， 故要得到函数y=sin2x的函数图象，可将函数y=sin（2x﹣）的图象向左至少平移个单位即可， 故选：B． 4. 定义运算则函数的图象是            （   ） 参考答案： A 略 5. 下列函数中与函数相等的函数是(     ) A.          B.         C.        D. 参考答案： D 6. 在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（    ） A．1         B．2       C．3         D．4 参考答案： B 7. 如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，PA=AD，则异面直线PB与AC所成的角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角． 【分析】由已知可得：PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM，因为PB∥CM，所以ACM就是异面直线PB与AC所成的角 【解答】解：由题意：底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， 分别过P，D点作AD，AP的平行线交于M，连接CM，AM， ∵PM∥AD，AD∥BC，PM=AD，AD=BC． ∴PBCM是平行四边形， ∴PB∥CM， 所以∠ACM就是异面直线PB与AC所成的角． 设PA=AB=a，在三角形ACM中，AM=a，AC=a，CM=a ∴三角形ACM是等边三角形． 所以∠ACM等于60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°． 故选：C 8. 函数的最小正周期为（  ） A. 2π         B.π         C.3π       D.均不对 参考答案： B 因为，则，则是函数的周期；而，故也是函数的周期；则选项可以排除，又题目要求最小正周期，所以排除，综上选B   9. 设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　） 　 A． ac＞bc B． C． a2＞b2 D． a3＞b3 参考答案： D 略 10. 已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于(　　) A．{0,1,2,6,8}　　　　　　 B．{3,7,8} C．{1,3,7,8}  D．{1,3,6,7,8} 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一件商品成本为20元，售价为40元时每天能卖出500件。若售价每提高1元，每天销量就减少10件，问商家定价为**** 元时，每天的利润最大。 参考答案： 55 设提高x元，则销量为， 利润为：. 当时，即定价为55元时每天的利润最大. 12. 已知等差数列{an}中，，则_______ 参考答案： 20 【分析】 设等差数列的公差为，用与表示等式，再用与表示代数式可得出答案。 【详解】设等差数列的公差为，则， 因此，，故答案为：。 【点睛】本题考查等差数列中项的计算，解决等差数列有两种方法：基本性质法（与下标相关的性质）以及基本量法（用首项和公差来表示相应的量），一般利用基本量法来进行计算，此外，灵活利用与下标有关的基本性质进行求解，能简化计算，属于中等题。 13. 如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中，异面直线与所成的角的大小是      ． 参考答案：    14. 已知，函数，若实数m，n满足，则m与n的大小关系为             。 参考答案： ； 15. 已知实数x，y满足则目标函数的最大值是____，满足条件的实数x，y构成的平面区域的面积等于____． 参考答案：     (1). 2    (2). 2； 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用线性目标函数的最值求法，进行求解即可． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由得．平移直线， 由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大． 由，解得，代入目标函数得． 即目标函数的最大值为2． 点时，同理， 满足条件的实数，构成的平面区域的面积等于： 【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的求解方法——平移法的应用，以及三角形面积的求法。 16. （5分）若，是两个非零向量，且||=||=，，则与﹣的夹角的取值范围是           参考答案： ≤＜＞≤ 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；不等式的解法及应用；平面向量及应用． 分析： 不妨设|+|=1，则||=||=λ，运用向量的平方即为模的平方，可得=，再由向量的夹角公式，求得cos＜，＞=﹣，再由，运用不等式的性质，结合余弦函数的单调性，即可得到所求范围． 解答： 由于||=||=，， 不妨设|+|=1，则||=||=λ， 即有（+）2=++2=2λ2+2=1， 即=， =﹣=﹣λ2=， ||====， cos＜，＞==﹣=﹣=﹣， 由于，则λ2∈，∈， ﹣∈， 由于0≤＜＞≤π， 则有≤＜＞≤． 点评： 本题主要考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查向量的夹角的范围，运用不等式的性质是解题的关键，属于中档题． 17. 已知向量，则      ▲     ； 与的夹角为      ▲     . 参考答案： ，  ，       三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为一条河所在的直线方程为，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？ 参考答案： 见解析． 【分析】 根据两点间的距离公式以及点的对称性，建立方程组的关系，进行求解即可. 【详解】 如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 若P′(异于P)在直线上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|． 因此，供水站只有P点处，才能取得最小值，设A′(a，b)， 则AA′的中点在l上，且AA′⊥l， 即解得 即A′(3,6)． 所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0， 解方程组得 所以P点的坐标为． 故供水站应建在点P处． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用和直线对称性的应用，解答中涉及到直线方程的求解，直线的对称性求解最值问题，解答中合理利用数形结合思想是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，⊥平面，， ，分别是,的中点. (Ⅰ) 求证： (Ⅱ)求点到平面的距离。 参考答案： 证明：(Ⅰ) ,是的中点      ⊥平面     且 平面   平面        平面                         ………6分 (Ⅱ)设点到平面的距离为，利用体积法，    故点到平面的距离为        ………12分 20. （本小题满分13分） 　　已知函数（）. 　　（1）若，试确定函数的单调区间； 　　（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围. 　　（3）若，求的取值范围. 参考答案： 　（Ⅰ）解：当时，，所以， 　　　　　由，解得， 　　　　　由，解得或， 　　　　　所以函数的单调增区间为，减区间为和.　 　　（Ⅱ）解：因为， 　　　　　由题意得：对任意恒成立， 　　　　　即对任意恒成立， 　 　　　 设，所以， 　　 　　 所以当时，有最大值为， 　　 　　 因为对任意，恒成立， 　　 　　 所以，解得或， 　　 　　 所以，实数的取值范围为或. 　　（III）. 略 21. 已知，， （1）求，，的值； （2）求的值。 参考答案： 解：（1） 22. （本小题满分14分）已知数列中的各项均为正数，且满足. 记，数列的前项和为，且 .  (Ⅰ)数列和的通项公式；    (Ⅱ)求证：.    参考答案： 解：（I） …2分 是公比和首项均为2的等比数列， ，     ……………………………………………………………………4分 即………………………………6分    （II）证明：因为等比数列{}的前n项和     ……7分 所以      …………………………………………………………8分 故   ……………………10分 所以      ………………………………11分 另一方面                                                       ……………………12分                 ………………………14分