湖北省武汉市第十七中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖北省武汉市第十七中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知为锐角，且＝,＝－,则＝ （A）     （B）     （C）     （D）以上答案都不对 参考答案： A 2. 若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是(  　) A．－1－i          B．1＋i             C．－1＋i          D．1－i 参考答案： B   3. 已知P，Q为动直线y=m（0＜m＜）与y=sinx和y=cosx在区间上的左，右两个交点，P，Q在x轴上的投影分别为S，R．当矩形PQRS面积取得最大值时，点P的横坐标为x0，则（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】H7：余弦函数的图象；H2：正弦函数的图象． 【分析】由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sinx），则矩形PQRS的面积为S（x）=（﹣2x）?sinx，（0＜x＜），再利用导数求得矩形面积S（x）的最大值． 【解答】解：由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sinx），则，∴， ∴，∴S″=﹣4cosx﹣（﹣2x）sinx， ∵，∴S''（x）＜0，∴S′（x）在区间上单调递减， 且，， ∴S′（x）在区间存在唯一零点，即为x0． 令S′（x0）=0得：，即． 由不等式得：，解得：， 故选：A． 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点D是边BC的中点，且，则△ABC的面积为（    ） A. B. C. 或 D. 或 参考答案： D 【详解】由题可知，，则，或.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为. 故答案为：D. 【点睛】这个题考查了三角函数两角和差公式的逆用，以及向量的模长的应用，三角函数的面积公式的应用，题型比较综合. 5. 在中，角的对边分别为，且， 则的形状是(      ) A．正三角形       B．直角三角形      C．等腰三角形       D．等腰直角三角形 参考答案： B 略 6. 设集合A =, B=,则A∩B＝                   A．  B． C．   D． 参考答案： 答案:D 7. 函数y=3|log3x|的图象是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【专题】作图题；转化思想． 【分析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的． 【解答】解：y=3|log3x|=，即y= 由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线y=x的一部分， 考察四个选项，只有A选项符合题意， 故选A． 【点评】本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的． 8. 设向量=（1，）与=（-1， 2）垂直，则等于 （   ）                   0        -1 参考答案： C 9. 设，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（e是自然对数的底数），则   A.1      B.e+1      C.3      D.e+3 参考答案： C 略 10. 若在区间上有极值点,则实数的取值范围是(   ) A．       B．        C．       D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等差数列前n项和为.若，，则=_______，     . 参考答案： 4，110 设等差数列的公差为，则，即，，，，，故答案为4，110. 12. 已知命题p：?x∈R，x2＞x﹣1，则?p为　　． 参考答案： ?x∈R，x2≤x﹣1 略 13. 在边长为4的正方形中，沿对角线将其折成一个直二面角，则点到直线的距离为__________ 参考答案： 14. 数列为等比数列，且            . 参考答案： 16 15. 设点是区域内的随机点，则满足的概率是____． 参考答案： 16. 已的夹角为30°，则的值为       。 参考答案： 17. 已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直，， ，若点都在同一球面上，则此球的表面积等于_______. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥中，底面， ，， 是的中点．Ks5u （1）证明； （2）证明平面； （3）求二面角的正切值。 参考答案： 解：（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故． ，平面． 而平面，． （Ⅱ）证明：由，，可得． 是的中点，． 由（Ⅰ）知，，且，所以平面． 而平面，． 底面在底面内的射影是，，． 又，综上得平面． （Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，得．设， 可得． 在中，，， 则．在中，． 所以二面角的大小是． 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为． 过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角． 由已知，可得，设， 可得． ，． 于是，． 在中，． 所以二面角的大小是． 略 19. 已知函数． (Ⅰ)设，求的值域； (Ⅱ)在△ABC中，角，，所对的边分别为，，．已知c=1，，且△ABC的面积为，求边a和b的长． 参考答案： （Ⅰ）==． 时，值域为．     （Ⅱ）因为，由（1）知． 因为△ABC的面积为，所以，于是.       ① 在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b. 由余弦定理得，所以．     ② 由①②可得或 略 20. 设p：“方程x2+y2=4﹣a表示圆”，q：“方程﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线”，如果p和q都正确，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】命题的真假判断与应用；双曲线的简单性质． 【分析】先求出命题p真、命题q真时a的范围，由 p和q都正确，得?实数a的取值范围． 【解答】解：若命题p真：方程x2+y2=4﹣a表示圆，4﹣a＞0，即a＜4， 若命题q真：则a+1＞0，得a＞﹣1， ∵p和q都正确，所以?﹣1＜a＜4，实数a的取值范围：（﹣1，4） 【点评】本题考查了复合命题的判断，考查圆和双曲线的性质，是一道基础题 21. 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点， 求的值及相应的的值。 参考答案： 解析：设直线为，代入曲线并整理得 则 所以当时，即，的最小值为，此时。 22. 已知等腰直角分别为的中点，将沿CD折到的位置,,取线段SB的中点为E. (1)求证:CE//平面SAD; (2)求二面角的余弦值 参考答案： 解：(1)证明：取中点，连接 又 四边形为平行四边形 (2)面面,面面 面 面 面 又 两两互相垂直 如图所示,分别以为轴建立空间直角坐标系 则 设平面,平面的法向量分别为 则 取 取      二面角的平面角的余弦值为.