湖北省荆州市松滋纸厂河镇中学2023年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖北省荆州市松滋纸厂河镇中学2023年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（   ） A.               B. C.              D. 参考答案： B 试题分析：解：由，得；①若，设，则当，，此时 当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时，作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知； ②若，设，则当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知，所以的取值范围，故答案为B. 考点：函数的零点与方程的根关系. 2. 点M、N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图，则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为 A．①、②、③    B．②、③、③    C．①、③、④ D．②、④、③ 参考答案： B 由三视图的定义可知，该几何体的三视图分别为②、③、③，选B. 3. 已知函数，若存在正实数，使得方程在区间上有三个互不相等的实数根，则的取值范围是         （    ） A．      B．     C．      D． 参考答案： D 4. 三棱锥及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点均在球的表面上，则球的表面积为（   ） A.32π   B.36π    C.128π   D.144π 参考答案： A 5. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（   ） A．    B．   C．     D．4 参考答案： A 略 6. 在边长为1的正三角形ABC中，，x>0，y>0，且x＋y＝1， 则的最大值为 (　　) A．－                 B．－              C．－              D．－ 参考答案： D 7. 设等差数列的前项和为，若，则等于（    ） A．18                   B．36            C．45               D．60 参考答案： C 8. 某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积是（     ） A、             B、         C、             D、 参考答案： B 略 9. 已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　） A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 参考答案： B 【考点】一次函数的性质与图象． 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可． 【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在， ∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1 ， ①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1， 即（a1﹣a2）x=b2﹣b1． ∴方程组有唯一解． 故选：B． 10. 若是的重心，分别是角的对边，若 ，则角（ ） A.       B.    C.        D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下左图，则         参考答案： 12. 设等比数列满足公比，且中的任意两项之积也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的集合为               参考答案： 略 13. 平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1，若，则3x+2y的最大值为　　． 参考答案： 2 【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【分析】根据，得出=1，利用基本不等式得出3x+2y的最大值． 【解答】解：∵， ∴==9x2+4y2+2xy×3×2×（﹣） =（3x+2y）2﹣3?3x?2y≥（3x+2y）2﹣×（3x+2y）2 =×（3x+2y）2； 又=1， 即×（3x+2y）2≤1， 所以3x+2y≤2，当且仅当3x=2y， 即x=，y=时， 3x+2y取得最大值2． 故答案为：2． 14. 已知，则的最小值为   ▲    ．  参考答案： 2 由得且，即。所以，所以的最小值为2. 15. 已知G为△ABC的重心，令，，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且，，则=　　． 参考答案： 3 考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 显然，根据G点为重心，从而可以用表示，而和共线，从而，而已知，从而会最后得到关于的式子：，从而得到，两式联立消去x即可求出答案． 解答： 解：如图， =； ∴； G为△ABC的重心； ∴，； ∴； 整理得，； ∴； 消去x得，； ∴． 故答案为：3． 点评： 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理． 16. 已知x＞2，则+x的最小值为            ． 参考答案： 4 考点：基本不等式． 专题：不等式的解法及应用． 分析：变形利用基本不等式的性质即可得出． 解答： 解：∵x＞2， ∴+x=+（x﹣2）+2≥=4，当且仅当x=3时取等号． 故答案为：4． 点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 17. 已知正四棱锥(底面是正方形且顶点在顶面的射影是底面正方形的中心的棱锥叫做正四棱锥)的体积为，底面边长为，则正四棱锥内切球的表面积为________． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是l，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程化为（x﹣1）2+y2=1，利用互化公式可得极坐标方程． （II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得ρ1．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得ρ2．由θ1=θ2，可得|PQ|=|ρ1﹣ρ2|． 【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程化为（x﹣1）2+y2=1， ∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ． （II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得ρ1=1． 设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得ρ2=3． ∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2． ∴|PQ|=2． 19. （本小题满分13分）如图，已知椭圆是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设P、Q为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由. 参考答案： (Ⅰ) ； (Ⅱ)  【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系H5 H8 解析：（I）∵   ∴ 又即，∴△AOC是等腰直角三角形  ……………2分 ∵  ∴而点C在椭圆上，∴   ∴ ∴所求椭圆方程为                                   …………………4分 （II）对于椭圆上两点、Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴 ∴PC与CQ所在直线关于对称，设且，则，………6分 则PC的直线方程    ① QC的直线方       ② 将①代入得  ③ ∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，∴ ……………8分 以替换，得到.         而∴ ∴∥AB，∴存在实数，使得  ………………10分 当时即时取等号， 又，                          …………………… 13分 【思路点拨】(Ⅰ) 有已知条件得，然后解出基本量进而得到其标准方程；(Ⅱ)把直线与椭圆联立后结合基本不等式即可。 20. (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—A1 B1 C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA 1=60o．     (I)若点M、N分别是边A1B1、BC的中点，求证：MN//平面ACC1A1     (Ⅱ)证明：ABA1C；     (Ⅲ)若AB=CB=2，A1C=，求二面角B—AC—A1的余弦值． 参考答案： 21. （本小题满分13分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图像再向左平移个单位，得到的函数的图像，求函数在区间上的最小值． 参考答案： 解：（1）因为        =,                                  …………  4分        函数f（x）的最小正周期为=．  ………5分        由，，  ………7分        得f（x）的单调递增区间为 ， ．         ………   9分 （2）根据条件得=，当时，，      所以当x = 时，．    ………… 13分 22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点. (1)证明：平面ADE⊥平面PAB； (2)若PE＝4EC，F是PB的中点，AD＝，AB＝AP＝2CD＝2，求直线DF与平面ADE所成角的正弦值. 参考答案：