湖北省荆州市洪湖瞿家湾镇中心学校2023年高二数学理联考试卷含解析

湖北省荆州市洪湖瞿家湾镇中心学校2023年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如右图所示，过抛物线y2＝2px (p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 A．y2    B．y2＝3x   C．y2    D．y2＝9x 参考答案： B 如图，过作垂直准线于，过作垂直准线于，记准线与轴的交点为．由抛物线定义知，故，所以，即，解得， 所以，代入即得答案，故选B． 考点：抛物线的定义，方程． 2. 已知数列中，，则（    ） A. 49             B. 50             C. 51               D. 52 参考答案： D 略 3. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(       )  A.                                B.    C.                                D.  参考答案： B 略 4. 双曲线4x2﹣=1的渐近线方程是（　　） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±6x 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线方程，直接求解渐近线方程即可． 【解答】解：双曲线4x2﹣=1的渐近线方程是4x2﹣=0，即y=±6x． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题． 5. 不等式（x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域是（    ）       参考答案： C 6. 某高二年级有文科学生500人，理科学生1500人，为了解学生对数学的喜欢程度，现用分层抽样的方法从该年级抽取一个容量为60的样本，则样本中文科生有（    ）人 A.10                B.15          C.20           D.25 参考答案： B 7. 若变量x,y满足，则z=3x+y的最大值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                      A．25             B．50            C．60 D．40 参考答案： C 8. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （  ） A．6        B．12     C．24          D．36 参考答案： B 9. 函数的导函数为（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： D 10. 已知数列对任意的满足，且，那么等于（  ） A． B．   C．    D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得=x+y，且x+2y=1，则cos∠BAC=　　． 参考答案： 考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 综合题；平面向量及应用． 分析： 由=x+y，且x+2y=1，可得﹣=y（﹣2），利用向量的运算法则，取AC的中点D，则=2y，再利用点O是△ABC的外心，可得BD⊥AC．即可得出． 解答： 解：如图所示，∵=x+y，且x+2y=1， ∴﹣=y（﹣2）， ∴=y（+）， 取AC的中点D，则+=2， ∴=2y， 又点O是△ABC的外心，∴BD⊥AC． 在Rt△BAD中，cos∠BAC=． 故答案为：， 点评： 本题考查了向量的运算法则、三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，属于难题． 12. 已知RtΔABC的斜边两端点分别是B(4,0), C(-2,0)，则顶点A的轨迹方程是___________________________。 参考答案： (x-1)2+y2=9(y≠0). A为直角顶点，∴，另外需除去y=0的两点。得：(x-1)2+y2=9(y≠0). 13. α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断： ① m ^ n   ②α^β ③ m ^β ④ n ^α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题: 若       则_____。（填序号） 参考答案： ②③④ 14. 某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉．则恰好在第3次才能开门的概率为　　． 参考答案： 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】先求出基本事件总数，再求出恰好在第3次才能开门包含的基本事件个数，由此能求出恰好在第3次才能开门的概率． 【解答】解：∵某人有5把钥匙，其中2把能打开门．现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉． ∴恰好在第3次才能开门的概率为p==． 故答案为： 15. 如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． （1）每次只能移动一个金属片； （2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为； 则：（Ⅰ）  ▲  (Ⅱ)   ▲  参考答案： 7（3分） （2分） 16. 设a=则二项式的常数项是       参考答案： --160 略 17. 设函数的定义域为R，则k的取值范围是         。      A、     B、      C、      D、 参考答案： B 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列． 参考答案： 【考点】等比关系的确定；数列递推式． 【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；当n=1时，a1=S1”即可得出； （2）对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．利用等比数列的定义可得，即（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），解出m为正整数即可． 【解答】（1）解：∵Sn=，n∈N*． ∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=3n﹣2，（*） 当n=1时，a1=S1==1． 因此当n=1时，（*）也成立． ∴数列{an}的通项公式an=3n﹣2． （2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列． 则， ∴（3n﹣2）2=1×（3m﹣2）， 化为m=3n2﹣4n+2， ∵n＞1， ∴m=3n2﹣4n+2=＞1， 因此对任意的n＞1，都存在m=3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列． 19. （12分）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，，M是的中点，N是的中点，点Q在上，且，用表示 （1）       (2)       (3) 参考答案： (1)    (2)   (3) 略 20. （本小题满分12分）已知复数z=(2+)).当实数m取什么值时,复数z是: （1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。 参考答案： 21. （本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由． 参考答案：   22. 已知经过原点的直线与椭圆C：交于A，B两点，点P为椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的斜率均存在，且直线PA、PB的斜率之积为. （1）求椭圆C的离心率； （2）若，设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k的直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M、N两点，若点F1在以为直径的圆内部，求k的取值范围. 参考答案： （1）设则， ，∵点三点均在椭圆上， ∴， ， ∴作差得， ∴ ， ∴. （2）∵， ，∴， ， 设， ，直线的方程为，记， ， 联立得， ， ∴， ， 当点在以为直径的圆内部时， ， ∴ ， 得 ， 解得.