湖北省武汉市经济技术开发区汉阳第三中学高二数学理上学期期末试题含解析

湖北省武汉市经济技术开发区汉阳第三中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数图像的大致形状是（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 首先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值对图像进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于函数的定义域为，，，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，故排除D选项.而，排除C选项，，由于，所以，而，由此排除A选项. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 2. 圆心在x+y=0上，且与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0）的圆的方程为（　　） A．（x+1）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣1）2+（y+1）2= C．（x﹣1）2+（y+1）2=5 D．（x+1）2+（y﹣1）2= 参考答案： A 【考点】圆的标准方程． 【分析】要求圆的标准方程，先求圆心坐标：根据圆心在直线上设出圆心坐标，根据圆的定义可知|OA|=|OB|，然后根据两点间的距离公式列出方程即可求出圆心坐标；再求半径：利用利用两点间的距离公式求出圆心O到圆上的点A之间的距离即为圆的半径．然后根据圆心和半径写出圆的标准方程即可． 【解答】解：由题意得：圆心在直线x=﹣1上， 又圆心在直线x+y=0上， ∴圆心M的坐标为（﹣1，1）， 又A（﹣3，0），半径|AM|==， 则圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=5． 故选A． 3. 已知 且，则 A．有最大值2  B．等于4 C．有最小值3  D．有最大值4 参考答案： D 略 4. 已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（　　） A．（0，﹣3） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1） 参考答案： C 【考点】复合命题的真假． 【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标． 【解答】解：若“p且q”为真命题，则： P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上； 所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点； ∴解得x=1，y=﹣1； ∴P（1，﹣1）． 故选C． 5. 已知点分别是椭圆的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，若是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围（  ） (A)        (B)        (C)       (D) 参考答案： B 6. 若直线∥平面，直线，则与的位置关系是（     ） A、∥     B、与异面     C、与相交       D、与没有公共点 参考答案： D 7. 某船开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(     )    A．       B．          C．     D． 参考答案： C 略 8. 已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内．当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球O的体积等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】球的体积和表面积；球内接多面体． 【分析】当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的表面积等于，确定该四棱锥的底面边长和高，进而可求球的半径为R，从而可求球的体积． 【解答】解：由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥， ∵该四棱锥的表面积等于，   设球O的半径为R，则AC=2R，SO=R，如图， ∴该四棱锥的底面边长为 AB=， 则有+4××=， ∴R= ∴球O的体积是=． 故选B． 【点评】本题考查球内接多面体，球的体积，解题的关键是确定球的半径，再利用公式求解． 9. 已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 考点：双曲线的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由已知条件，根据双曲线的焦距排除A，B，再由抛物线y=+1与双曲线C的渐近线相切排除C． 解答： 解：∵双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦距为2， ∴排除选A和B， ∵的渐近线方程为y=±2x， 把y=2x代入抛物线y=+1， 得， ， ∴抛物线y=+1与y=2x不相切，由此排除C． 故选：D． 点评：本题考查双曲线标准方程的求法，在选择题中合理地运用排除法往往能化繁为简，节约答题时间． 10. 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：   甲 乙 丙 丁 平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7 方差ss 3.5 3.6 2.2 5.4 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 参考答案： C 【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数． 【专题】概率与统计． 【分析】丙的射击水平最高且成绩最稳定，故从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是丙． 【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四人的平均环数乙和丙均为8.8环，最大， 甲、乙、丙、丁四人的射击环数的方差中丙最小， ∴丙的射击水平最高且成绩最稳定， ∴从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛， 最佳人选是丙． 故选：C． 【点评】本题考查运动会射击项目比赛的最佳人选的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意从平均数和方差两个指标进行综合评价． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则           。 参考答案： 略 12. 以下命题正确的是  ______.     ①若a2+b2=8，则ab的最大值为4； ②若数列的通项公式为，则数列的前n项和为； ③若； ④已知数列的递推关系，，则通项． ⑤已知则的取值范围是 参考答案： ①② 13. 如果关于x的不等式的解集是非空集合，则m=      . 参考答案： 36 14. 双曲线的渐近线方程是  ▲   . 参考答案： 【分析】 直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程． 【详解】已知双曲线 令：=0 即得到渐近线方程为：y=±2x 故答案为：y=±2x 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.   15. 一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是________. 参考答案： 略 16. 圆心为C（2，﹣3），且经过坐标原点的圆的方程为　　． 参考答案： （x﹣2）2+（y+3）2=13 【考点】圆的标准方程． 【分析】求出圆的半径，即可写出圆的标准方程． 【解答】解：圆心为C（2，﹣3），且经过坐标原点的圆的半径为： =． 所以申请的圆的方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=13． 故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=13． 17. 圆的方程为，圆的方程为 ，过圆上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、， 则的最小值为______． 参考答案： 6 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数. (1) 当时，讨论的单调性； （2）设,当若对任意存在 使求实数的取值范围。 参考答案： 解（1）………3分 当，即时，此时的单调性如下： （0，1） 1 （1，） （） + 0 _ 0 + 增   减   增 当时，在(0,1)，（）上是增函数， 在（1，）上是减函数。……7分 （2）由（1）知，当时，在(0,1)上是增函数，在（1，2）上是减函数. 于是时，…………….8分 从而存在 使）=……10分 考察的最小值。 ①当时，在上递增，=（舍去）……..11分 ②当时，，在上递减，        ………..12分 ③当时，无解。………13分   综上……………14分 略 19. （12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R（x0，y0）是椭圆C：+=1上的一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q． （1）若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程； （2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1?k2的值； （3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 参考答案： 【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）求得圆的半径r，由两直线垂直和相切的性质，可得|OR|=4，解方程可得圆心R的坐标，进而得到圆的方程； （2）设出直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，运用韦达定理，由R在椭圆上，即可得到k1?k2的值； （3）讨论①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用点满足椭圆方程，由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值36；②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36． 【解答】解：（1）由圆R的方程知圆R的半径， 因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切， 所以，即① 又点R在椭圆C上，所以② 联立①②，解得， 所以，所求圆R的方程为； （2）因为直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x都与圆R相切， 所以，， 两边平方可得k1，k2为（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+（y02﹣8）=0的两根， 可得， 因为点R（x0，y0）在椭圆C上， 所以，即， 所以； （3）方法一①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由（2）知2k1k2+1=0， 所以，故． 因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上， 所以， 即， 所以， 整理得， 所以 所以． 方法（二）①当直线OP，OQ不落在坐标轴上时， 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立， 解得， 所以， 同理，得． 由（2）2k1k2+1=0，得， 所以 =， ②当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36． 综上：OP2+OQ2=36． 【点评】本题考查椭圆方程的运用，以及直线和圆的位置关系：相切，考查点到直线的距离公式和直线方程的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题． 20. (本小题满分10分)已知条件：和条件：，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为、构造命题“若则”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题． 参考答案： 21. 已知等差数列{an}中，，且成等比数列． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）当时，若数列的前项和为，设， 求数列的前项和． 参考答案： （1）成等比数列， ，…………………………2分 由，得，或。…………………4分 或………………………6分 （2）当时，，，…………………8分 则……………………10分 …………12分线的焦点，点为抛物线内一定点， 点为抛物线上一动点，的最小值为8. （1）求抛物线方程； （2）若为坐标原点，问是否存在定点，使过点的动直线与抛物线交于 两点，且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在