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湖北省武汉市第十九中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,从n=k到n=k+1时,等式左边应添加的式子是( )
A.(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2
C.(k+1)2 D. (k+1)[2(k+1)2+1]
参考答案:
B
略
2. 已知点是函数的图像上一点,且,则该函数图象在点处的切线的斜率为( )
A. B. C. D. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m
参考答案:
D
略
3. 直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y=0的两个交点恰好关于y轴对称,则k等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
A
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】联立直线与圆的方程得到一个方程组,消去y后得到关于x的一元二次方程,由直线与圆的两交点关于y轴对称,得到两交点的横坐标互为相反数,即横坐标相加为0,利用韦达定理表示出两根之和,令其等于0列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值.
【解答】解:联立直线与圆的方程得:
,
消去y得:(k2+1)x2+2kx=0,
设方程的两根分别为x1,x2,
由题意得:x1+x2=﹣=0,
解得:k=0.
故选A.
4. 执行如图所示程序框图,若使输出的结果不大于100,则输入的整数k的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
B
【考点】程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算变量S的值,并输出满足退出循环条件时的k值,模拟程序的运行,对程序运行过程中各变量的值进行分析,即可得解.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
S=0,n=0
满足条,0≤k,S=3,n=1
满足条件1≤k,S=7,n=2
满足条件2≤k,S=13,n=3
满足条件3≤k,S=23,n=4
满足条件4≤k,S=41,n=5
满足条件5≤k,S=75,n=6
满足条件6≤k,S=141,n=7
…
若使输出的结果S不大于100,则输入的整数k不满足条件6≤k,即5≤k<6,
则输入的整数k的最大值为5.
故选:B.
5. 已知(+)2n展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n等于
A.4 B.3 C.6 D.7
参考答案:
B
6. 在中,是的中点,,点在上且满足,
则等于 ( )
(A) ( B) (C) (D)
参考答案:
D
略
7. 已知命题p1是命题“已知A,B为一个三角形的两内角,若,则A=B”的否命题
命题p2:公比大于1的等比数列是递增数列。
则在命题q1:,q2:,q3:和q4:中,真命题是( )
A. q1,q3 B. q2,q3 C. q1,q4 D. q2,q4
参考答案:
C
8. 设a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是( )
A.a+c>b+d B.a﹣c>b﹣d C.ac>bd D.ad>bc
参考答案:
A
【考点】不等关系与不等式.
【分析】根据不等式的基本性质,对四个选项进行分析、判断,即可得出正确的答案.
【解答】解:∵a,b,c,d∈R,且a>b,c>d,
根据同向不等式的可加性,得;
a+c>b+d,∴A正确.
故选:A.
【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用问题,解题时宜用直接法选出正确的答案,是基础题目.
9. 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完,已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有 个(用数字作答).
参考答案:
由题意,末尾数字为5或3,其余位置任意排列,所以奇数共有2×=48个
故答案为:48
由题意,末尾数字为5或3,其余位置任意排列,从而可得结论
12. 已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形,则椭圆的离心率为 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】利用已知条件列出不等式,然后求解椭圆的离心率即可.
【解答】解:椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形,
可得:,,解得e=.
故答案为:.
13. 已知不等式组所表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围为 .
参考答案:
14. 如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间(﹣3,﹣)内单调递增;
②函数y=f(x)在区间(﹣,3)内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;
⑤当x=﹣时,函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的是 .
参考答案:
③
【考点】63:导数的运算;3O:函数的图象;6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】利用使f′(x)>0的区间是增区间,使f′(x)<0的区间是减区间,分别对①②③进行逐一判定,导数等于零的值是极值,先增后减是极大值,先减后增是极小值,再对④⑤进行判定.
【解答】解:①函数y=f(x)在区间(﹣3,﹣)内有增有减,故不正确
②函数y=f(x)在区间(﹣,3)有增有减,故不正确
③函数y=f(x)当x∈(4,5)时,恒有f′(x)>0.正确
④当x=2时,函数y=f(x)有极大值,故不正确
⑤当x=﹣时,f′(x)≠0,故不正确,
故答案为③
【点评】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性,以及极值问题,属于易错题.
15. 数列的前n项和是 .
参考答案:
16. 在四面体中, ,,二面角的余弦值是,则该四面体外接球的表面积是___▲___.
参考答案:
6π
因为所以,设的中点为,连接,则三角形的外心为在线段上,且,又三角形的外心为,又,所以平面,过垂直于平面的直线与过垂直于平面的直线交于点,则为四面体外接球的球
心,又,所以,
所以,设外接圆半径为,则,所以.
17. 随机变量服从正态分,若P(>11)=a,则P(9<≤ll) =______ ;
参考答案:
1-2a
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列前项和 ,数列为等比数列,首项,公比为,且满足成等差数列.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,记数列的前项和为,求.
参考答案:
解(Ⅰ)当n=1时,.
当n≥2时,,
验证时也成立.∴数列的通项公式为:,
∵成等差数列,所以,即,
因为∴∴数列的通项公式为:
(Ⅱ)∵
∴ ……………………①
…………………②
由①-②得:
∴
略
19. 甲、乙两人想参加《中国诗词大会》比赛,筹办方要从10首诗司中分别抽出3首让甲、乙背诵,规定至少背出其中2首才算合格; 在这10首诗词中,甲只能背出其中的7首,乙只能背出其中的8首
(1)求抽到甲能背诵的诗词的数量的分布列及数学期望;
(2)求甲、乙两人中至少且有一人能合格的概率.
参考答案:
(1)依题意,甲答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3
其概率分别如下:
ξ的概率分布如下:
甲答对试题数ξ的数学期望
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为,则
因为事件相互独立,故甲、乙两人考试均不合格的概率为
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.
20. 已知a1=,且Sn=n2an(n∈N*)
(1)求a2,a3,a4;
(2)猜测{an}的通项公式,并用数学归纳法证明之.
参考答案:
【考点】8B:数列的应用;RG:数学归纳法.
【分析】(1)利用数列的前n项和与第n项的关系,得到关于数列的递推关系式,即可求得此数列的前几项.
(2)用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤,第一步,先证明当当n=1时,结论显然成立,第二步,先假设当n=k+1时,有ak=,利用此假设证明当n=k+1时,结论也成立即可.
【解答】解:∵Sn=n2an,∴an+1=Sn+1﹣Sn=(n+1)2an+1﹣n2an
∴
∴(1)a2=,a3=,a4=
(2)猜测an=;下面用数学归纳法证
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立,即ak=
则当n=k+1时,
故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有an=.
21. (12分)在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系, 已知点的极坐标为, 直线的极坐标方程为, 且点在直线上.
(1) 求的值及直线的直角坐标方程;
(2) 圆C的参数方程为(为参数), 试判断直线与圆的位置关系.
参考答案:
(1) (2)
22. 已知为实数,函数,函数,令函数.
(1) 若求函数的极小值;
(2) 当解不等式;
(3) 当求函数的单调减区间.
参考答案:
(1)令
当递增;当递减;
故的极小值为
(2)由 可得
故在递减
当时 故当时
当时,由
综合得:原不等式的解集为
(3),令得
①当时,,减区间为
②当时,减区间为
③当时,减区间为
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