湖北省武汉市第十九中学高二数学理期末试题含解析

湖北省武汉市第十九中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，从n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　) A．(k－1)2＋2k2                           B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2                                  D. (k＋1)[2(k＋1)2＋1] 参考答案： B 略 2. 已知点是函数的图像上一点，且，则该函数图象在点处的切线的斜率为（   ） A． B． C． D． w.w.w.k.s.5 u.c.o.m 参考答案： D 略 3. 直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 参考答案： A 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】联立直线与圆的方程得到一个方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，由直线与圆的两交点关于y轴对称，得到两交点的横坐标互为相反数，即横坐标相加为0，利用韦达定理表示出两根之和，令其等于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值． 【解答】解：联立直线与圆的方程得： ， 消去y得：（k2+1）x2+2kx=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 由题意得：x1+x2=﹣=0， 解得：k=0． 故选A． 4. 执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于100，则输入的整数k的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=0 满足条，0≤k，S=3，n=1 满足条件1≤k，S=7，n=2 满足条件2≤k，S=13，n=3 满足条件3≤k，S=23，n=4 满足条件4≤k，S=41，n=5 满足条件5≤k，S=75，n=6 满足条件6≤k，S=141，n=7 … 若使输出的结果S不大于100，则输入的整数k不满足条件6≤k，即5≤k＜6， 则输入的整数k的最大值为5． 故选：B． 5. 已知(＋)2n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于     A．4             B．3          C．6               D．7 参考答案： B 6. 在中，是的中点，,点在上且满足, 则等于                                          （     ） (A)                ( B)                 (C)           (D) 参考答案： D 略 7. 已知命题p1是命题“已知A，B为一个三角形的两内角,若，则A=B”的否命题 命题p2：公比大于1的等比数列是递增数列。 则在命题q1：，q2：，q3：和q4：中，真命题是(    ) A. q1，q3     B. q2，q3     C. q1，q4      D. q2，q4 参考答案： C 8. 设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是（　　） A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．ad＞bc 参考答案： A 【考点】不等关系与不等式． 【分析】根据不等式的基本性质，对四个选项进行分析、判断，即可得出正确的答案． 【解答】解：∵a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d， 根据同向不等式的可加性，得； a+c＞b+d，∴A正确． 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的基本性质的应用问题，解题时宜用直接法选出正确的答案，是基础题目． 9. 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是（   ） A．    B．    C．    D． 参考答案： D 略 10. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是               参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有　 　个（用数字作答）． 参考答案： 由题意，末尾数字为5或3，其余位置任意排列，所以奇数共有2×=48个 故答案为：48 由题意，末尾数字为5或3，其余位置任意排列，从而可得结论 12. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为　　． 参考答案：   【考点】椭圆的简单性质． 【分析】利用已知条件列出不等式，然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形， 可得：，，解得e=． 故答案为：． 　 13. 已知不等式组所表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围为            . 参考答案： 14. 如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣）内单调递增； ②函数y=f（x）在区间（﹣，3）内单调递减； ③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增； ④当x=2时，函数y=f（x）有极小值； ⑤当x=﹣时，函数y=f（x）有极大值． 则上述判断中正确的是　　． 参考答案： ③ 【考点】63：导数的运算；3O：函数的图象；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】利用使f′（x）＞0的区间是增区间，使f′（x）＜0的区间是减区间，分别对①②③进行逐一判定，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值，再对④⑤进行判定． 【解答】解：①函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故不正确 ②函数y=f（x）在区间（﹣，3）有增有减，故不正确 ③函数y=f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．正确 ④当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故不正确 ⑤当x=﹣时，f′（x）≠0，故不正确， 故答案为③ 【点评】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题． 15. 数列的前n项和是          ． 参考答案： 16. 在四面体中， ，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是___▲___. 参考答案： 6π 因为所以，设的中点为，连接，则三角形的外心为在线段上，且，又三角形的外心为，又，所以平面，过垂直于平面的直线与过垂直于平面的直线交于点，则为四面体外接球的球 心，又，所以， 所以，设外接圆半径为，则，所以. 17. 随机变量服从正态分，若P(>11)=a，则P(9<≤ll) =______ ； 参考答案： 1-2a 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列前项和 ，数列为等比数列，首项，公比为，且满足成等差数列. （1）求数列，的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求. 参考答案： 解（Ⅰ）当n=1时，． 当n≥2时，, 验证时也成立．∴数列的通项公式为：， ∵成等差数列，所以，即， 因为∴∴数列的通项公式为： (Ⅱ）∵ ∴ ……………………① …………………② 由①-②得： ∴ 略 19. 甲、乙两人想参加《中国诗词大会》比赛，筹办方要从10首诗司中分别抽出3首让甲、乙背诵，规定至少背出其中2首才算合格； 在这10首诗词中，甲只能背出其中的7首，乙只能背出其中的8首 （1）求抽到甲能背诵的诗词的数量的分布列及数学期望； （2）求甲、乙两人中至少且有一人能合格的概率. 参考答案： （1）依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0,1,2,3  其概率分别如下： ξ的概率分布如下：                                                                                                       甲答对试题数ξ的数学期望 （2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为，则   因为事件相互独立，故甲、乙两人考试均不合格的概率为 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.     20. 已知a1=，且Sn=n2an（n∈N*） （1）求a2，a3，a4； （2）猜测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明之． 参考答案： 【考点】8B：数列的应用；RG：数学归纳法． 【分析】（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项． （2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有ak=，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可． 【解答】解：∵Sn=n2an，∴an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）2an+1﹣n2an ∴ ∴（1）a2=，a3=，a4= （2）猜测an=；下面用数学归纳法证 ①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k时结论成立，即ak= 则当n=k+1时， 故当n=k+1时结论也成立． 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有an=． 21. （12分）在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系, 已知点的极坐标为, 直线的极坐标方程为, 且点在直线上． (1) 求的值及直线的直角坐标方程； (2) 圆C的参数方程为(为参数), 试判断直线与圆的位置关系. 参考答案： （1）  （2） 22. 已知为实数，函数，函数，令函数. （1） 若求函数的极小值； （2） 当解不等式； （3） 当求函数的单调减区间. 参考答案： （1）令 当递增；当递减； 故的极小值为 （2）由       可得      故在递减 当时    故当时 当时，由 综合得：原不等式的解集为 （3），令得 ①当时，，减区间为 ②当时，减区间为 ③当时，减区间为