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湖北省荆州市松滋第二中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知x、y满足+y2=1,则u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|的取值范围为( )
A.[1,12] B.[0,6] C.[0,12] D.[1,13]
参考答案:
D
【考点】绝对值三角不等式.
【分析】由题意,令x=cosα,y=sinα,确定范围,去掉绝对值符号,再求出u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|的取值范围.
【解答】解:由题意,令x=cosα,y=sinα,
∴2x+y=2cosα+sinα=sin(α+θ)<4,
∴|2x+y﹣4|=4﹣2x﹣y,
x+2y=cosα+2sinα=sin(α+β)<3,
∴|3﹣x﹣2y|=3﹣x﹣2y,
u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|=4﹣2x﹣y+3﹣x﹣2y=7﹣3(x+y)=7﹣3(cosα+sinα)=7﹣6sin(α+60°),
∴1≤u≤13,
故选:D.
2. 已知点在抛物线C:的准线上,学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 若复数满足,则
A. B. C.2 D.
参考答案:
B
4. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:
广告费用 (万元)
4
2
3
5
销售额 (万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为,据此模型预报广告费用为万元时销售额为( )
(A) 万元 (B) 万元
(C) 万元 (D) 万元
参考答案:
5. 设则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 已知函数f(x)的图象是连续不断的,给出x,f(x)对应值如表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
23.5
21.4
﹣7.8
11.5
﹣5.7
﹣12.4
函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】利用零点判定定理,直接找出几个即可.
【解答】解:由图可知,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,由零点存在定理知在区间(2,3)上至少有一个零点,同理可以判断出在区间(3,4)、(4,5)上各至少有一个零点,所以在区间[1,6]上的零点至少有三个.
故选:B.
7. △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,asin AsinB+bcos2A=则( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
8. 在ΔABC中,已知A=120°,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C.23 D.24
参考答案:
A
考点:由三视图求面积、体积.
【思路点睛】根据三视图作出几何体的直观图,该几何体为四棱锥和三棱锥组合体,由三视图可知平面,平面,四边形是边长为的正方形,,再利用椎体体积公式求得两个椎体的体积之和即可.本题考查了空间几何体的三视图和体积计算,分析几何体的组成是关键,属于中档题.
10. 函数的图象大致是( )
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量,的夹角为,,则在方向上的投影为 ▲ .
参考答案:
由题意得投影为
12. 若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数的取值范是 . [
参考答案:
(-1,0)
略
13. 不等式的解集为 .
参考答案:
14. 三角形一内角是,且它的对边长是1,则此三角形内切圆半径的最大值是 ____
参考答案:
15. 已知数列a1,a2,…,a8,满足a1=2013,a8=2014,且an+1﹣an∈{﹣1,,1}(其中n=1,2,…,7),则这样的数列{an}共有 个.
参考答案:
252
【考点】数列的函数特性.
【专题】创新题型;排列组合.
【分析】运用数列相邻两项差的值,可能够取值的情况分类讨论,转化为排列组合问题求解.
【解答】解:∵数列a1,a2,…,a8,满足a1=2013,a8=2014,
∴a8﹣a1=a8﹣a7+a7﹣a6+a6﹣a5+a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1=1,
an+1﹣an∈{﹣1,,1}(其中n=1,2,…,7),共有7对差,
可能an+1﹣an=﹣1,或an+1﹣an=,或an+1﹣an=1.
设﹣1有x个,有y个,1有7﹣x﹣y个,
则想x(﹣1)++1×(7﹣x﹣y)=1,
即6x+2y=18,x,y∈[0,7]的整数,
可判断;x=1,y=6;x=2,y=3;x=3,y=0,三组符合
所以共有数列C+CCC+=7+210+35=252.
故答案为:252
【点评】本题考查了方程的解转化为组合问题等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力,转化能力.
16. 已知正项等比数列满足,若存在两项使得,则的最小值是______.
参考答案:
试题分析:,,,,存在两项使得
,,,,,比较可得当时,有最小值为.
考点:基本不等式;等比数列的通项.
【易错点睛】本题考查了基本不等式;等比数列的通项.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.
17. 已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点,过点作圆的切线,切点为使得,则椭圆的离心率的取值范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点G(1,m)到焦点的距离为3,椭圆C2: =1(m>n>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,且离心率为.
(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程;
(2)已知直线l:y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点,若原点O在以线段AB为直径的圆的外部,求k的取值范围.
参考答案:
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(1)由抛物线上的点G(1,m)到焦点的距离为3,求抛物线C1,椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,且离心率为,求椭圆C2的方程.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及判别式大于0,通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部,推出?>0,然后求解k的范围即可.
【解答】解:(1)由题意可知,解得p=4,所以抛物线C1的方程为:y2=8x.
∴抛物线C1的焦点F(2,0),
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合,
∴椭圆C2半焦距c=2,m2﹣n2=c2=4.
∵椭圆C2的离心率为,∴,解得m=4,,
∴椭圆C2的方程为.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),
由得(4k2+3)x2﹣32kx+16=0,
∴,,
由△>0,即(﹣32k2)﹣4×16(4k2+3)>0,解得或.①
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部,则,
∴=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1﹣4)(kx2﹣4)=(k2+1)x1x2﹣4k(x1+x2)+16==,
解得.②
由①②解得实数k的范围是或.
19. 已知中心在坐标系原点,焦点在y轴上的椭圆离心率为,直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过下焦点的直线l交椭圆于A,B两点,点P为椭圆的上顶点,求△PAB面积的最大值.
参考答案:
【考点】K4:椭圆的简单性质;KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)根据题意,分析可得2c=a①,进而可得椭圆过点(3,2),代入椭圆方程得②,结合椭圆的几何性质分析可得a2、b2的值,将a2、b2的值代入椭圆的方程即可得答案;
(2)设直线l的方程为y=kx﹣2.联立直线与椭圆的方程可得(4+3k2)x2﹣12kx﹣36=0,由根与系数的关系分析可得|AB|的长,由点到直线的距离公式可得P(0,4)到直线AB的距离d,则可以用k表示△PAB面积S,利用基本不等式的性质分析可得答案.
【解答】解:(1)根据题意,因为,所以2c=a①
又直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6.
所以椭圆过点(3,2),代入椭圆方程得②
又a2=b2+c2③
由①②③得a2=16,b2=12
所以椭圆方程为;
(2)设直线l的方程为y=kx﹣2
由得(4+3k2)x2﹣12kx﹣36=0
显然△>0,设A(x1,y1),B(x2,y2)
则,
所以=
又点P(0,4)到直线AB的距离为
所以,
令,则t≥1,k2=t2﹣1
所以
因为t≥1,在[1,+∞)上单调递增
所以当t=1时,即k=0时,取最小值4
所以Smax=18.
20. 函数的定义域为集合A,函数的定义域为集合B,若,求实数的取值范围。
参考答案:
略
21. 在中,角、、所对的边长分别为、、,且满足.
(1)求角的大小;
(2)求的最大值,并求取得最大值时角、的大小.
参考答案:
由(1)知,于是
,,从而,
即时,取得最大值2.
综上所述,的最大值为2,此时,.
22. 已知甲船正在大海上航行。当它位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船,乙船当即决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达。(供参考使用:)。
(1) 试问乙船航行速度的大小;
(2) 试问乙船航行的方向(试用方位角表示,譬如北偏东…度)。
参考答案:
解:设乙船运动到B处的距离为t海里.
则,
,
则
∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处求援。速
度为5√7海里/小时。
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