湖北省荆州市松滋第二中学高三数学理联考试题含解析

湖北省荆州市松滋第二中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知x、y满足+y2=1，则u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|的取值范围为（　　） A．[1，12] B．[0，6] C．[0，12] D．[1，13] 参考答案： D 【考点】绝对值三角不等式． 【分析】由题意，令x=cosα，y=sinα，确定范围，去掉绝对值符号，再求出u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|的取值范围． 【解答】解：由题意，令x=cosα，y=sinα， ∴2x+y=2cosα+sinα=sin（α+θ）＜4， ∴|2x+y﹣4|=4﹣2x﹣y， x+2y=cosα+2sinα=sin（α+β）＜3， ∴|3﹣x﹣2y|=3﹣x﹣2y， u=|2x+y﹣4|+|3﹣x﹣2y|=4﹣2x﹣y+3﹣x﹣2y=7﹣3（x+y）=7﹣3（cosα+sinα）=7﹣6sin（α+60°）， ∴1≤u≤13， 故选：D． 2. 已知点在抛物线C：的准线上，学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（     ） A．    B．    C．    D． 参考答案： D 3. 若复数满足，则 A．　  B．　　 C．2　 D． 参考答案： B 4. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用 (万元) 4 2 3 5 销售额 (万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为(    ) (A) 万元                (B) 万元     (C) 万元                (D) 万元 参考答案： 5. 设则的大小关系是               （    ）        A．    B．            C．       D．  参考答案： C 略 6. 已知函数f（x）的图象是连续不断的，给出x，f（x）对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 f（x） 23.5 21.4 ﹣7.8 11.5 ﹣5.7 ﹣12.4 函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】利用零点判定定理，直接找出几个即可． 【解答】解：由图可知，f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，由零点存在定理知在区间（2，3）上至少有一个零点，同理可以判断出在区间（3，4）、（4，5）上各至少有一个零点，所以在区间[1，6]上的零点至少有三个． 故选：B． 7. △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=则（  ）  (A)               (B)          (C)           (D) 参考答案： D 8. 在ΔABC中，已知A=120°，，，则（     ） A.   B.   C.   D. 参考答案： C 9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（   ） A．                          B．                      C．23                    D．24 参考答案： A 考点：由三视图求面积、体积． 【思路点睛】根据三视图作出几何体的直观图，该几何体为四棱锥和三棱锥组合体，由三视图可知平面，平面，四边形是边长为的正方形，，再利用椎体体积公式求得两个椎体的体积之和即可．本题考查了空间几何体的三视图和体积计算，分析几何体的组成是关键，属于中档题． 10. 函数的图象大致是（     ） 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量，的夹角为，，则在方向上的投影为   ▲   ． 参考答案： 由题意得投影为   12. 若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数的取值范是          . [ 参考答案： (-1,0) 略 13. 不等式的解集为          ． 参考答案： 14. 三角形一内角是，且它的对边长是1，则此三角形内切圆半径的最大值是   ____ 参考答案： 15. 已知数列a1，a2，…，a8，满足a1=2013，a8=2014，且an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），则这样的数列{an}共有　　个． 参考答案： 252 【考点】数列的函数特性． 【专题】创新题型；排列组合． 【分析】运用数列相邻两项差的值，可能够取值的情况分类讨论，转化为排列组合问题求解． 【解答】解：∵数列a1，a2，…，a8，满足a1=2013，a8=2014， ∴a8﹣a1=a8﹣a7+a7﹣a6+a6﹣a5+a5﹣a4+a4﹣a3+a3﹣a2+a2﹣a1=1， an+1﹣an∈{﹣1，，1}（其中n=1，2，…，7），共有7对差， 可能an+1﹣an=﹣1，或an+1﹣an=，或an+1﹣an=1． 设﹣1有x个，有y个，1有7﹣x﹣y个， 则想x（﹣1）++1×（7﹣x﹣y）=1， 即6x+2y=18，x，y∈[0，7]的整数， 可判断；x=1，y=6；x=2，y=3；x=3，y=0，三组符合 所以共有数列C+CCC+=7+210+35=252． 故答案为：252 【点评】本题考查了方程的解转化为组合问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，转化能力． 16. 已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是______． 参考答案： 试题分析：，，，，存在两项使得 ，，，，，比较可得当时，有最小值为.　 考点：基本不等式；等比数列的通项. 【易错点睛】本题考查了基本不等式；等比数列的通项.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 17. 已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过点作圆的切线，切点为使得，则椭圆的离心率的取值范围是          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点G（1，m）到焦点的距离为3，椭圆C2： =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为． （1）求抛物线C1和椭圆C2的方程； （2）已知直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）由抛物线上的点G（1，m）到焦点的距离为3，求抛物线C1，椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为，求椭圆C2的方程． （2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出?＞0，然后求解k的范围即可． 【解答】解：（1）由题意可知，解得p=4，所以抛物线C1的方程为：y2=8x． ∴抛物线C1的焦点F（2，0）， ∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合， ∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4． ∵椭圆C2的离心率为，∴，解得m=4，， ∴椭圆C2的方程为． （2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）， 由得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0， ∴，， 由△＞0，即（﹣32k2）﹣4×16（4k2+3）＞0，解得或．① ∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则， ∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣4）（kx2﹣4）=（k2+1）x1x2﹣4k（x1+x2）+16==， 解得．② 由①②解得实数k的范围是或． 19. 已知中心在坐标系原点，焦点在y轴上的椭圆离心率为，直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6． （1）求椭圆的标准方程； （2）过下焦点的直线l交椭圆于A，B两点，点P为椭圆的上顶点，求△PAB面积的最大值． 参考答案： 【考点】K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）根据题意，分析可得2c=a①，进而可得椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得②，结合椭圆的几何性质分析可得a2、b2的值，将a2、b2的值代入椭圆的方程即可得答案； （2）设直线l的方程为y=kx﹣2．联立直线与椭圆的方程可得（4+3k2）x2﹣12kx﹣36=0，由根与系数的关系分析可得|AB|的长，由点到直线的距离公式可得P（0，4）到直线AB的距离d，则可以用k表示△PAB面积S，利用基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，因为，所以2c=a① 又直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6． 所以椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得② 又a2=b2+c2③ 由①②③得a2=16，b2=12 所以椭圆方程为； （2）设直线l的方程为y=kx﹣2 由得（4+3k2）x2﹣12kx﹣36=0 显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2） 则， 所以= 又点P（0，4）到直线AB的距离为 所以， 令，则t≥1，k2=t2﹣1 所以 因为t≥1，在[1，+∞）上单调递增 所以当t=1时，即k=0时，取最小值4 所以Smax=18． 20. 函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，若，求实数的取值范围。 参考答案： 略 21. 在中，角、、所对的边长分别为、、，且满足． (1)求角的大小； (2)求的最大值，并求取得最大值时角、的大小． 参考答案： 由(1)知，于是 ，，从而， 即时，取得最大值2． 综上所述，的最大值为2，此时，． 22. 已知甲船正在大海上航行。当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达。（供参考使用：）。 (1) 试问乙船航行速度的大小； (2) 试问乙船航行的方向(试用方位角表示，譬如北偏东…度)。 参考答案： 解：设乙船运动到B处的距离为t海里.   则， ， 则 ∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处求援。速 度为5√7海里/小时。