湖北省武汉市钢花中学2023年高二数学理联考试题含解析

湖北省武汉市钢花中学2023年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合，A={1,3,5,7,8}，B={2,4,6,8}，则（   ） A. {2,4,6,7} B. {2,4,5,9} C. {2,4,6,8} D. {2,4,6} 参考答案： D 【分析】 先求出,再求得解. 【详解】由题得， 所以=. 故选：D 【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这种知识的理解掌握水平，属于基础题. 2. 在△ABC中，已知，=，=，则等于   A．      B．       C．           D． 参考答案： A 略 3. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是               参考答案： B 略 4. 小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少 A. 23分钟   B. 24分钟    C. 26分钟    D. 31分钟 参考答案： C 5. 程序框图,能判断任意输入的数的奇偶性：其中判断框内的条件是(    )   A.?         B. ?        C. ?        D.?       参考答案： B 略 6. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（　　） A．都不是一等品       B．恰有一件一等品 C．至多一件一等品     D．至少有一件一等品 参考答案： C 7. 某厂共有64名员工，准备选择4人参加技术评估，现将这64名员工编号，准备运用系统抽样的方法抽取，已知8号，24号，56号在样本中，那么样本中还有一个员工的编号是（  ） A、35          B、40           C、45           D、50 参考答案： B 8. 直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： D 【考点】直线和圆的方程的应用． 【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB． 【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点， 根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为． 圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=， 则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD= 故选D． 【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形．灵活运用垂径定理解决数学问题． 9. 全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为 A．          B．        C．            D． 参考答案： B 10. 已知变量x，y满足，则z=log4（2x+y+4）的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式． 【分析】先根据约束条件画出可行域，欲求z=log4（2x+y+4）的最大值，即要求z1=2x+y+4的最大值，再利用几何意义求最值，分析可得z1=2x+y+4表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可． 【解答】解：作，的可行域如图： 易知可行域为一个三角形， 验证知在点A（1，2）时， z1=2x+y+4取得最大值8， ∴z=log4（2x+y+4）最大是， 故选：A． 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知圆与圆，在下列说法中：①对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；②对于任意的，圆与圆始终相切；③分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4． 其中正确命题的序号为___________. 参考答案： ②③。 12. 与双曲线﹣=﹣1共焦点，且过点（1，2）的圆锥曲线的方程为　　． 参考答案： +=1或﹣=1 【考点】双曲线的简单性质；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程． 【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得﹣=1，分析可得其焦点坐标为（0，±）；进而分要求的圆锥曲线为椭圆和双曲线两种情况进行讨论，分别求出圆锥曲线的方程，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=﹣1，变形可得﹣=1， 其焦点在y轴上，c==， 则其焦点坐标为（0，±）； 若要求的圆锥曲线为椭圆，设其方程为+=1， 则有， 解可得a2=8，b2=2， 则要求椭圆的方程为： +=1； 若要求的圆锥曲线为双曲线，设其方程为﹣=1， 则有， 解可得a2=3，b2=3， 则要求双曲线的方程为：﹣=1； 综合可得：要求圆锥曲线的方程为+=1或﹣=1； 故答案为： +=1或﹣=1． 13. 命题“，”的否定是   ▲    . 参考答案： 略 14. 已知直线 和夹角的平分线为y＝,如果  的方程是 ，那么 的方程是                   ． 参考答案： 15. 由动点向圆引两条切线、切点分别为、，若，则动点的轨迹方程为__________． 参考答案： 解：∵，，， ∵， ∴是等边三角形， 为定值， ∴点轨迹方程为． 16. 一物体在力F（x）=，（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m）处，则力F（x）做的功为　　焦． 参考答案： 36 【考点】6L：定积分的背景；68：微积分基本定理． 【分析】本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是[0，1]，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案 【解答】解：W===36． 故答案为：36． 17. 一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为_____________km． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆方程为： +=1（a＞b＞0）过点P（0，1），且离心率e=． （1）求椭圆方程； （2）过原点的直线交椭圆于B，C两点，A（1，），求△ABC面积最大值． 参考答案： 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由题意知，e=，b=1，a2﹣c2=1，由此能求出椭圆的标准方程． （2）设直线l的方程与椭圆C联立，C（x1，y1），B（x2，y2），利用弦长公式求出CB，A到CB的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可． 【解答】解：（1）由题意知，e=，b=1，a2﹣c2=1，… 解得a=2， 所以椭圆的标准方程为．… （2）由题意知，直线l的斜率存在时，直线l：y=kx． 设直线l与椭圆交于C（x1，y1），B（x2，y2）两点， 由得可得 （4k2+1）x2﹣4=0，x1+x2=0，x1x2=． |CB|=|x1﹣x2|=， A到CB 的距离为：d=， ∴△ABC面积s=|CB|×d=×=×=． ∵k+≥2或k+≤﹣2，当且仅当k=时取等号． 所以当k=﹣时，△ABC面积最大值2． 19. 复数，，若是实数，求实数a的值. 参考答案： 解： . ∵是实数， ∴，解得 或， 由于， ∴，故.   20. 在平面直角坐标系中xOy，已知椭圆E：=1（a＞b＞0）过点，且椭圆E的离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）是否存在以A（0，﹣b）为直角顶点且内接于椭圆E的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）通过离心率与a、b、c三者的关系可得椭圆E方程为x2+4y2=a2，代入点计算即可； （2）假设存在，可设直线AB的方程AB：y=kx﹣1（k＞0），并与椭圆方程联立，计算可得B点的纵坐标，进而可得|AB|的表达式，讨论可得|AC|的表达式，利用△BAC是等腰直角三角形，计算即得结论． 解答： 解：（1）由得， 又．                                          故椭圆E方程为x2+4y2=a2， 椭圆E经过点，则．                           所以a2=4，b2=1， 所以椭圆E的标准方程为．                                   （2）结论：存在3个满足条件的直角三角形． 理由如下： 假设存在这样的等腰直角三角形BAC，明显直线AB的斜率存在， 因为A点的坐标为A（0，﹣1），设直线AB的方程AB：y=kx﹣1（k＞0）， 则直线AC的方程为．                                   由得：（1+4k2）x2﹣8kx=0， 所以x=0，或， 所以B点的纵坐标为， 所以．     同理， 因为△BAC是等腰直角三角形， 所以|AB|=|AC|，即， 即， 所以k3+4k=1+4k2，即k3﹣4k2+4k﹣1=0， 所以（k3﹣1）﹣4k（k﹣1）=0， 即（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0， 所以k=1，或k2﹣3k+1=0， 所以k=1，或．                                            所以这样的直角三角形有三个． 点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 21. （本小题12分）数列是等差数列、数列是等比数列。已知，点在直线上。满足。 （1）求通项公式、； （2）若，求的值。 参考答案： （1）把点代入直线得： 即：，所以，，又，所以.    …………………3分 又因为，所以.                     …………………5分 （2）因为， 所以，      ?    ……………………7分 又，    ② …………………9分[来源:学 ?— ②得：           …………………11分 所以，                              ……………………12分 22. （本小题共15分） 已知． （1）求函数的图像在处的切线方程；  (2)设实数，求函数在上的最大值.   参考答案： （1）定义域为                                                                        又 ………4分                                           函数的在处的切线方程为： ，即   ………7分                      （2）令得         当，，单调递减，…ks5u 当，，单调递增．………10分 在上的最大值