湖北省荆州市万家镇中学高二数学文联考试卷含解析

湖北省荆州市万家镇中学高二数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 右图是某公司个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间，内的概率为（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 2. 双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质． 【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得． 【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2， 则有解得m=，n= ∴mn= 故选A 3. 函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题： ①函数y=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A、B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2； ④设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，则实数t 的取值范围是（﹣∞，1）．以上正确命题的序号为（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t?φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误． 【解答】解析：①错：解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x， 则kA=1，kB=8，则|kA﹣kB|=7 y1=1，y2=5，则|AB|=， φ（A，B）=，①错误； ②对：如y=1时成立； ③对：φ（A，B）===； ④错：对于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==． t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误． 故答案为：②③ 4. 若M（x，y）满足，则M的轨迹（　　） A．双曲线 B．直线 C．椭圆 D．圆 参考答案： C 【考点】轨迹方程． 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意， =，可得（x，y）到（2，1）的距离与到直线2x+y﹣4=0的距离的比为，即可得出结论． 【解答】解：，可化为=， ∴（x，y）到（2，1）的距离与到直线2x+y﹣4=0的距离的比为， 利用椭圆的定义，可得轨迹是椭圆． 故选：C． 【点评】本题考查曲线与方程，考查椭圆的定义，正确变形是关键． 5. 下列求导运算正确的是（     ） A．    B．   C．    D． 参考答案： B 略 6. 如果执行下面的程序框图，输出的，则判断框中为           （    ） A.   B.  C. D.  参考答案： C 7. 奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（　　） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件 参考答案： C 【考点】互斥事件与对立事件． 【分析】对于红色圆环而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均没有分得，然后利用互斥事件和对立事件的概念得答案． 【解答】解：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件； 又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件． ∴事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件． 故选：C． 8. 椭圆的焦距为2，则m的值等于（　　） A．5或3 B．8 C．5 D．或 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】根据椭圆方程的标准形式，求出a、b、c的值，即得焦距 2c 的值列出方程，从而求得n的值． 【解答】解：由椭圆得： 2c=2得c=1． 依题意得4﹣m=1或m﹣4=1 解得m=3或m=5 ∴m的值为3或5 故选A． 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．解题时要认真审题，注意公式的合理选用． 9. 幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是      A．      B．      C．      D． 参考答案： C 略 10. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（  ） A．AB∥CD   B．AB与CD相交    C．AB⊥CD      D．AB与CD所成的角为60° 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正数满足，则的最小值为   ▲    . 参考答案： 8 略 12. 若x≥0，y≥0，2x+3y≤10，2x+y≤6，则z=3x+2y的最大值是　 　． 参考答案： 10 【考点】简单线性规划． 【专题】转化思想；数形结合法；不等式． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】解：由z=3x+2y得， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大， 此时z也最大， 由，解得，即A（2，2） 将A（2，2）代入目标函数z=3x+2y， 得z=3×2+2×2=6+4=10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 13. 若实数满足约束条件，则的最大值为________． 参考答案： 2 略 14. 如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示，给出下列判断： (1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（－，3）内单调递减； (3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增； (4) 当x= －时，函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值; 则上述判断中正确的是                 . 参考答案： ③⑤； 略 15. 设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若则∥；②若则； ③若∥，∥，则；④若与相交且不垂直，则与不垂直。其中，所有真命题的序号是          ． 参考答案： ①② 略 16. 双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左、右顶点为A1、A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B、C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为　　． 参考答案： ±1 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A1B⊥A2C，可得=﹣1，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率． 【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣）， ∵A1B⊥A2C， ∴=﹣1， ∴a=b， ∴双曲线的渐近线的斜率为±1． 故答案为：±1． 17. 如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是  参考答案： 58 【考点】茎叶图． 【专题】计算题；概率与统计． 【分析】由茎叶图可知甲得分数据共有13个，出现在中间第7位的数据是32，乙得分的中位数是32．乙得分数据共有13个，出现在中间第7位的数据是26，乙得分的中位数是26，即可得出结论． 【解答】解：由茎叶图可知甲得分数据共有13个，出现在中间第7位的数据是32，乙得分的中位数是32． 乙得分数据共有13个，出现在中间第7位的数据是26，乙得分的中位数是26． 两数之和32+26=58 故答案为：58． 【点评】本题考查茎叶图和中位数，本题解题的关键是看清所给的数据的个数，计算中位数时，看清是有偶数个数字还是奇数个数字，选择出中位数． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在中，（1）若 (2)求最大内角.     参考答案：   略 19. 已知函数 （Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若时，，恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： 函数的定义域为， （Ⅰ）                           ………………………2分 当在上恒小于0，    在上单调递减，此时没有极值点      当在上为负，在上为正，在处取得极小值，此时有一个极值点. 综上知：当在定义域内的极值点的个数为0 当在定义域内的极值点的个数为1.       ……………6分 （Ⅱ），对于，恒成立，即为在上恒成立 令，则 则在时取得最小值为                                       ………………12分 20. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1B1中，AA1=2AB=2AD=4，点E在CC1上且C1E=3EC．利用空间向量解决下列问题： （1）证明：A1C⊥平面BED； （2）求锐二面角A1﹣DE﹣B 的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能证明A1C⊥平面BED． （2）求出平面DA1E的法向量和平面BED的法向量，利用向量法能求出二面角A1﹣DE﹣B的余弦值． 【解答】证明：（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D﹣xyz． 依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2，0，4）． =（0，2，1），=（2，2，0），=（﹣2，2，﹣4），=（2，0，4）． ∵=0， =0， 故A1C⊥BD，A1C⊥DE，又DB∩DE=D， 所以A1C⊥平面BED．… 解：（2）设向量=（x，y，z）是平面DA1E的法向量， 则． 令y=1，则=（4，1，﹣2）．… cos＜，＞==． 所以二面角A1﹣DE﹣B的余弦值为大小为．… 21. 定义：设分别为曲线和上的点，把两点距离的最小值称为曲线到的距离． （1）求曲线到直线的距离； （2）若曲线到直线的距离为，求实数的值； （3）求圆到曲线的距离． 参考答案： 解 （1）设曲线的点，则，所以曲线到直线的距离为．              （2）由题意，得，．               （3）因为，所以曲线是中心在的双曲线的一支．                                      如图，由图形的对称性知，当、是直线和圆、双曲线的交点时，有最小值．此时，解方程组得，于是，所以圆到曲线的距离为． 略 22. （14分）已知函数对任意，都有，且当时，； （1）求？  （2）求证：是上的增函数；（3）若，解不等式      参