湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学高三数学理期末试卷含解析

湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2?a4=9，则loga1+loga2+loga3+loga4+loga5的值为（　　） A． 6 B． 5 C． ﹣6 D． ﹣5 参考答案： 分析： 据等比数列的性质可知a2?a4=a32，再利用对数的性质即可得到答案． 解答： 解：∵各项均为正数的等比数列{an}中，a2?a4=9， ∴a3=3， ∴loga1+loga2+loga3+loga4+loga5=log（a1a5）+log（a2a4）+loga3=5loga3=﹣5 故选：D 点评： 本题主要考查了等比数列的性质．即若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则aman=apaq． 2. 一个几何体的三视图如右上图所示，则这个几何体的体积是   A．   B．    C．    D． 参考答案： C 3. 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 4. 已知一函数满足x>0时，有，则下列结论一定成立的是 A．          B．  C.           D． 参考答案： B 略 5. 如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（  ） 参考答案： C  略 6. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为(   ) （A）           （B） （C）        （D） 参考答案： C 因为. 所以点M取自E内的概率为 7. 对于任意的实数a、b，记max{a,b}=.若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，且在x=1处取得极小值-2，函数y=g(x) (x∈R)是正比例函数，其图象与x≥0时的函数y=f(x)的图象如图所示，则下列关于函数y=F(x)的说法中，正确的是(    ) A．y=F(x)为奇函数 B．y=F(x)有极大值F(-1) C．y=F(x)的最小值为-2，最大值为2 D．y=F(x)在(-3,0)上为增函数 参考答案： 【知识点】函数的图象；命题的真假判断与应用． A2   B8 【答案解析】B  解析：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}， ∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R， f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分， 由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确 y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）；故B正确 y=F（x）在（﹣3，0）上不为单调函数；故C不正确 y=F（x）的没有最小值和最大值.故D不正确 故选B． 【思路点拨】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否． 8. x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　） A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1 参考答案： D 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大． 若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件， 若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2， 若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一， 则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1， 综上a=﹣1或a=2， 故选：D 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义． 9. 函数的定义域为 A．   B  C  D。 参考答案： D 10. 已知数列满足，则该数列的前23 项的和为（  ） A．4194         B．4195       C．2046       D．2047 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若是圆的任意一条直径，为坐标原点，则的值为         ． 参考答案： 8 12. 已知等差数列{an}满足，则的值为______. 参考答案： 【分析】 等差数列的性质可知求，再根据求值. 【详解】由等差数列的性质可知 ， ， ， . 【点睛】本题考查等差数列的性质求值，意在考查转化与变形，属于基础题型. 13. 设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=           . 参考答案： 14. 设等差数列{an}的前项和为，若，则________，________. 参考答案： －4     －20 【分析】 根据等差中项的性质可得，利用等差数列的前项和公式及等差中项的性质可得的值． 【详解】解：依题意，； ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了等差数列的前项和，主要考查了推理能力和计算能力，属于基础题． 15. 一个盒内有大小相同的2个红球和8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同. 若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数的数学期望是          ． 参考答案： 略 16. 已知向量p＝(1，－2)，q＝(x,4)，且p∥q，则p·q的值为________． 参考答案： -10 略 17. 已知双曲线右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为　   　． 参考答案： 4（1+） 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】△APF的周长l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|AP|+|PF'|最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，即可得出结论． 【解答】解：由题意，点，△APF的周长l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|，要△APF的周长最小，只需|AP|+|PF'|最小， 如图，当A、P、F三点共线时取到， 故l=． 故答案为：4（1+）． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，底面是正三角形的直三棱柱中，D是BC的中点，. （Ⅰ）求证：平面；                    （Ⅱ）求点A1 到平面的距离.   参考答案： 证明：（Ⅰ）连接交于O，连接OD，在中，O为中点，D为BC中点 且 即 解得 解法二：由①可知 点到平面的距离等于点C到平面的距离…………8分 为 …………10分 设点C到面的距离为h 即 解得 略 19. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，α∈[0，π）），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ． （Ⅰ）求C2的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C1与C2交于A，B两点，且|AB|＞，求α的取值范围． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）曲线C2：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ代入可得C的直角坐标方程． （Ⅱ）求出圆心到直线的距离d，利用|AB|＞，求α的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为  C2：（x﹣2）2+y2=4，可得圆心（2，0），半径r=2； （Ⅱ）设曲线C1的方程为y=k（x+1），即kx﹣y+k=0，圆心到直线的距离d= ∵曲线C1与C2交于A，B两点，且|AB|＞， ∴d=＞，∴∴k＜﹣或k＞， ∴30°＜α＜120°． 20. 已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）． （Ⅰ）求圆心C的直角坐标； （Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心的直角坐标． （Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为，由此利用配方法能求出切线长的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵=2﹣2， ∴， ∴圆C的直角坐标方程为，即（x﹣）2+（y+）2=4， ∴圆心的直角坐标为（，﹣）． （Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为： ==， ∴由直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为4． 21. 已知函数f(x)＝x3－3ax2。 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在区间[0，2]上有最小值－32，求a的值。 参考答案： 22. 已知函数f（x）=（x+5）（x2+x+a）的图象关于点（﹣2，0）对称，设关于x的不等式f′（x+b）＜f′（x）的解集为M，若（1，2）?M，则实数b的取值范围是　，求整数m所有可能的值． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）原命题等价于方程xex=x+2在x∈上有解，由于ex＞0，原方程等价于ex﹣﹣1=0，令r（x）=ex﹣﹣1，根据函数的单调性求出m的值即可． 【解答】解：（Ⅰ）g（x）=axex+ex，∴g′（x）=（ax+a+1）ex， ①a=0时，g′（x）=ex，g′（x）＞0在R恒成立， 故函数g（x）在R递增； ②a＞0时，x＞﹣时，g′（x）＞0，g（x）递增， x＜﹣时，g′（x）＜0，函数g（x）递减； ③a＜0时，当x＞﹣时，g′（x）＜0，函数g（x）递减， x＜﹣时，g′（x）＞0，函数g（x）递增， 综上，a=0时，函数g（x）在R递增， a＞0时，函数g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增， a＜0时，函数g（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减； （Ⅱ）由题意得，原命题等价于方程xex=x+2在x∈上有解， 由于ex＞0，故x=0不是方程的解， 故原方程等价于ex﹣﹣1=0， 令r（x）=ex﹣﹣1，r′（x）=ex+＞0对于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立， 故r（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）递增， 又r（1）=e﹣3＜0，r（2）=e2﹣2＞0，r（﹣3）=e3﹣＜0，r（﹣2）=e2＞0， 故直线y=x+2和曲线y=f（x）的交点有2个， 且两交点