湖北省荆州市新厂镇高级中学高三数学理下学期期末试题含解析

湖北省荆州市新厂镇高级中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（0，1） 参考答案： B 【考点】1D：并集及其运算． 【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B． 【解答】解：集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}， A∪B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）． 故选：B． 2. 已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（   ） A．（1，2）   B．   C．   D． 参考答案： A 3. 如右图，该程序运行后输出的结果为（     ）                A．         B．         C．          D． 参考答案： C 略 4. 如果一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图是半径为3的圆及其圆心，则这个几何体的体积为（    ） A.          B.         C.          D. 参考答案： D 略 5. 在等比数列{an}中，其公比q>1，且a1+a6=8, a1a6=12，则(   )   A. 3             B.              C. 10               D. 或3 参考答案： 答案:A 6. △ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=bc，则A的度数等于（　　） A．120° B．60° C．150° D．30° 参考答案： A 【考点】余弦定理． 【专题】计算题． 【分析】由条件可得 b2+c2﹣a2=﹣bc，再由余弦定理可得 cosA==﹣，以及 0°＜A＜180°，可得A的值． 【解答】∵△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=bc，∴b2+c2﹣a2=﹣bc． 再由余弦定理可得 cosA==﹣， 又 0°＜A＜180°，可得A=120°， 故选A． 【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，是一个中档题目． 7. 满足｛a｝M｛a, b, c, d｝的集合M共有　（　　） A．6个           B．7个         C．8个         D．15个 参考答案： B 8. 曲线在处的切线在轴上的截距分别为，则=（     ） A．        B．        C．          D． 参考答案： B 9. 设，则           （    ）     A． B． C． D． 参考答案： D 略 10. 已知平面向量，，则    A．-10           B．10       　 C．-20          D．20 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数（,）的部分图像如右 图，则         . 参考答案： 由图象可知，即，所以，即，所以，因为，所以当时，，所以，即。 12. 若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是    ． 参考答案： （0，1） 考点：简单线性规划． 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用． 分析：由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围． 解答： 解：由题意作出其平面区域， 当直线y=kx+3与AB重合时，k=0，是直角三角形， 当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形； 故若区域为一个锐角三角形及其内部， 则0＜k＜1； 故答案为：（0，1）． 点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，利用临界值求取值范围，属于中档题． 13. 数列（）满足，则=_____________. 参考答案： 14. 已知i为虚数单位，则复数的模等于________． 参考答案： 1 15. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线过椭圆和椭圆（）的交点，则双曲线的离心率的取值范围是          参考答案：   ①-②可得： 16. 写出用三段论证明为奇函数的步骤是　　　　． 参考答案： 满足的函数是奇函数，　　　　　　　　大前提 ，　　小前提 所以是奇函数．　　　　　　　　　　　　　   结论 17. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，则向量与向量垂直的概率为        . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C：过点P（1，），且c=，定点A的坐标为（1，0）。 （1）求椭圆C的方程； （2）若Q的C上的动点，求QA的最大值。 参考答案： 解: (1)   (2)设Q(m,n)    则    当m= -2时, 19.      设椭圆的焦点分别为，右准线交轴于点，且. (1)  试求椭圆的方程； (2)  过为分别做互相垂直的两直线与椭圆分别交于四点（如图所示），试求四边形面积的最值。   参考答案： 解析：（Ⅰ）由题意，， ∴，        ∵  ∴为A的中点              ∴，                              即   椭圆方程为.                    （Ⅱ）当直线DE与轴垂直时，， 此时，四边形的面积为               同理当MN与轴垂直时，也有四边形的面积为.       当直线DE，MN均与轴不垂直时，设，代入椭圆方程，消去得： . 设，，则            所以，， 所以，，                        同理，.               所以，四边形的面积==，                       令，得 因为， 当时，，且S是以为自变量的增函数， 所以 综上可知，即四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为. 20. （本题满分13分）已知椭圆C的两个焦点是(0，-)和(0，)，并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F． （Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程； （Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值． 参考答案： （I）设椭圆的标准方程为(a>b>0)，焦距为2c， 则由题意得 c=，， ∴ a=2，=1， ∴ 椭圆C的标准方程为．   ……………………………………… 4分 ∴ 右顶点F的坐标为(1，0)． 设抛物线E的标准方程为， ∴ ， ∴ 抛物线E的标准方程为． ………………………………………… 6分 （Ⅱ）设l1的方程：，l2的方程， ，，，， 由 消去y得：， ∴ x1+x2=2+，x1x2=1． 由 消去y得：x2-(4k2+2)x+1=0， ∴ x3+x4=4k2+2，x3x4=1，……………………………………………………9分 ∴ = =||·||+||·|| =|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1| =(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1) =8+ ≥8+ =16． 当且仅当即k=±1时，有最小值16．……………………13分 21. 已知集合，集合，集合. （1）求； （2）若，试确定实数a的取值范围. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）化简集合A，B，然后求B的补集，再求与A的交集即可；（2）求出A与B的交集，讨论a的符号，再根据包含关系得到关于a的不等式组，求解即可. 【详解】（1）依题意得：或， 所以； （2）由题意知a0，， ①若，则，由得，解得， ②若，则，由得，解得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，集合的包含关系判断及应用，交集及其运算，补集及其运算，属中档题. 22. 在数列中，. （Ⅰ）设，证明：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列的前项和. 参考答案： 解：（Ⅰ）由已知得 又因此是首项为1，公差为1的等差数列 （Ⅱ）由（1）得，，