湖北省荆州市大兴中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

湖北省荆州市大兴中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合P={x|>0}，集合Q={x|x2+x－2≥0}，则x是x的 A.是充分条件但不是必要条件          B.是必要条件但是不充分条件     C.充要条件             D.既不是充分条件又不是必要条件 参考答案： D 2. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A. 1 B. －1 C. i D. －i 参考答案： B 设 ，由 ， ，故选B. 3. △ABC中，,,,P为线段AC上任意一点，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 先设PA＝x，x∈[0，]，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】△ABC中，设PA＝x，x∈[0，]， 则（）?x（﹣x）×cos180°+2（﹣x）×cos45° ＝x2﹣x+4， ∵x∈[0，]， 由二次函数的性质可知，当x时，有最小值； 当x＝0时，有最大值4， 所求的范围是[，4]． 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题． 4. 已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为（　 ） A．1－log20132012     B．－1      C．-log20132012  　　 D．1 参考答案： B 略 5. 已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0，记a=3f（3），b=f（sin1）sin1，c=﹣2，则a，b，c的大小关系式（　　） A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c 参考答案： A 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0，可得函数g（x）单调递增．即可得出． 【解答】解：令g（x）=xf（x），g（x）为偶函数，则g′（x）=f（x）+xf′（x）． ∵当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0， ∴当x＜0时，函数g（x）单调递减． ∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴函数g（x）为R+的单调递增函数， ∴a=3f（3）=g（3），b=sin1?f（sin1）=g（sin1） c=﹣2=g（﹣2）=g（2）， ∴g（3）＞g（﹣2）＞g（sin1）， ∴a＞c＞b． 故选：A． 　 6. 当时，函数的最大值和最小值分别是（    ） A．，       B．， 　 　Ｃ．，　 　Ｄ．， 参考答案： A 7. 中，内角所对边分别为,且则等于（   　 ） A．3    B．4    C．6    D．7   参考答案： B 8. 设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是 参考答案： D 本题主要考查了导数的运算、函数的极值点、二次函数的图象与性质等，关键是分类讨论思维的应用，难度比较大。设F（x）=f（x）ex，那么F′（x）=f′（x）ex+ f（x）ex=[ f′（x）+ f（x）] ex，由于x=－1是函数F（x）=f（x）ex的一个极值点，则有F′（－1）=0，即f′（－1）+ f（－1）=0，整理可得a=c，那么f（x）=ax2+bx+a=a（x+）2+，当a>0时，对应选项为选项A和D，选项A中，△=b2－4a2=0，则b=±2a，当b=2a时，对称轴x=－=－1，该图象可能；选项D中，△=b2－4a2>0，则b<－2a或b>2a，此时<0，f（－1）=2a－b>0，即b<2a，与b>2a矛盾，该图象不可能；当a<0时，对应选项为选项B和C，选项B中，△=b2－4a2=0，则b=±2a，当b=2a时，对称轴x=－=－1，该图象可能；选项C中，△=b2－4a2>0，则b<2a或b>－2a，当b<2a时，对称轴x=－<－1，该图象可能；故选D； 9. 以双曲线（m>0）的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切，则的值为 A． B． C． D． 参考答案： C 10. 给出下列三个结论：      ①命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程 无实数，则0”. ②若为假命题，则均为假命题. ③若命题，则. 其中正确结论的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 参考答案： C ①正确。②若为假命题，则至少有一个为假命题，所以②错误。③正确，所以正确结论有2个，选C. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则      ． 参考答案： 12. 已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+b﹣m=　　． 参考答案： 2 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析： 求出函数y=ax+的导数，求出切线的斜率，由已知切线，得到a﹣2=﹣1，从而得到m，再由切线过切点，即可得到b，进而得到a+b﹣m． 解答： 解：点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，则m=a+2， 函数y=ax+的导数y′=a﹣， 该函数图象在P点处的切线斜率为a﹣2， 由于直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线， 则有a﹣2=﹣1，即a=1，m=3，b=1+m=4， 则有a+b﹣m=1+4﹣3=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题． 13. 过点的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆的右焦点，当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为          ． 参考答案： 14. 已知实数x，y满足则x+y的取值范围是    ▲    . 参考答案：    [2,8] 15. 如下图所示的程序框图输出的值是           参考答案： 144 16. 设满足条件，则目标函数的最小值为          ． 参考答案： 可行域如图，直线过点A 时z取最小值   17. 设满足约束条件，则的最大值是         参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数有极值， 且曲线处的切线斜率为3。    （1）求函数的解析式；   （2）求在[－4，1]上的最大值和最小值。 参考答案： 解：（1） 由题意，得 所以， （2）由（1）知 令 x －4 （－4， －2） －2 （－2，） （，1） 1   + 0 － 0 +     ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗   函数值 －11   13     4 上的最大值为13，最小值为－11。 略 19. （本小题满分14分）    已知函数. （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围. （2）记函数，若的最小值是，求函数的解析式. 参考答案： ⑴             ∴在上恒成立…………2分 令 ∵恒成立             ∴…………4分                     … ………6分 ∴                                  … ………7分 (2) ∵                      …………9分 易知时, 恒成立 ∴无最小值,不合题意       ∴…………11分 令,则(舍负)        列表如下,(略)可得, 在 (上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点。                            …………13分 解得                     …………14分 20. 已知函数f（x）=3x+λ?3﹣x（λ∈R）． （1）若f（x）为奇函数，求λ的值和此时不等式f（x）＞1的解集； （2）若不等式f（x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）直接由f（﹣x）+f（x）=0求得λ值．把求得的λ值代入f（x），由f（x）＞1求得3x的范围，进一步求解指数不等式得答案； （2）由题意可得3x+≤6，令t=3x∈[1，9]，原不等式等价于λ≤6t﹣t2在t∈[1，9]上恒成立，令g（t）=6t﹣t2，t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=3x+λ?3﹣x为奇函数， ∴f（﹣x）+f（x）=3﹣x+λ?3x+3x+λ?3﹣x=（3x+3﹣x）+λ（3x+3﹣x）=（λ+1）（3x+3﹣x）=0， ∵3x+3﹣x＞0，∴λ+1=0，即λ=﹣1． 此时f（x）=3x﹣3﹣x， 由f（x）＞1，得3x﹣3﹣x＞1，即（3x）2﹣3x﹣1＞0， 解得：（舍），或3x＞，即x＞． ∴不等式f（x）＞1的解集为（）； （2）由f（x）≤6得3x+λ3﹣x≤6，即3x+≤6， 令t=3x∈[1，9]， 原不等式等价于t+≤6在t∈[1，9]上恒成立， 亦即λ≤6t﹣t2在t∈[1，9]上恒成立， 令g（t）=6t﹣t2，t∈[1，9]， 当t=9时，g（t）有最小值g（9）=﹣27， ∴λ≤﹣27． 21. （本小题满分10分） 已知切线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）. (1)      写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程； (2)      设曲线C经过伸缩变换，得到曲线，判断L与切线交点的个数. 参考答案： 【知识点】极坐标与参数方程.    N3 【答案解析】(1) 直线L的直角坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为；（2）两个 . 解析：（1）消去参数t得直线L的直角坐标方程为:, 由公式得曲线C的直角坐标方程为；--------5分 (2)曲线C经过伸缩变换得到曲线的方程为，由于直线L恒过点，点在椭圆内部，所以直线L与椭圆相交， 故直线与椭圆有两个交点.-------10分 【思路点拨】(1)参数方程消去参数得普通方程，利用公式完成极坐标方程与直角坐标方程的相互转化.(2)先求得曲线的方程，再由直线L所过的点在曲线内，得 直线与曲线有两个交点. 22. 如图，过抛物线y2＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1     (Ⅰ)求证：FM1⊥FN1: (Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为S1、、S2、，S3，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论。   参考答案：   （1）       证法1：由抛物线的定义得                   2分 如图，设准线l与x的交点为 而 即 故 证法2：依题意，焦点为准线l的方程为 设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有 由  得 于是，， ，故 （Ⅱ）成立，证明如下： 证明：设，则由抛物线的定义得 ，于是 将与代入上式化简可得  ，此式恒成立。 故成立。