湖北省武汉市蔡甸区第五高级中学校(高中部)高三数学理期末试卷含解析

湖北省武汉市蔡甸区第五高级中学校(高中部)高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是   (   ) A．     B．      C．     D． 参考答案： B 略 2. 点是抛物线上一点，到该抛物线焦点的距离为，则点的横坐标为 A．2                B. 3               C. 4            D.5 参考答案： B 抛物线的准线为，根据抛物线的对应可知，到该抛物线焦点的距离等于到该准线的距离，即，所以，即点的横坐标为3，选B. 3. 三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上,且，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为（   ）   A．4                  B．3                 C．             D． 参考答案： B 考点：球的内接几何体. 4. 设是不共线的两个向量，其夹角为θ，若函数在（0，+∞）上有最大值，则                                                                A．，且θ为钝角                 B．，且θ为锐角     C．，且θ为钝角                 D．，且θ为锐角 参考答案： D 5. 设a＝log0.32，b＝log0.33，c＝20.3，d＝0.32，则这四个数的大小关系是(　　) A．a＜b＜c＜d　　　　　　 B．b＜a＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．d＜c＜a＜b 参考答案： B 略 6. 若与都是非零向量，则“”是“”的（　  ） A．充分而不必要条件                 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件                     D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 7. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为，则（    ） A．    B．    C．5    D． 参考答案： D 试题分析：由抛物线定义得，选D. 考点：抛物线定义 【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标． 2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 8. 若集合，，则 （A） （B）        （C）        （D） 参考答案： B 考点：集合的运算 因为 故答案为：B 9. 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到    直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 A．2             B．3              C.             D. 参考答案： A 设动点P到直线l1和直线l2的距离之和为d，直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2. 10. 设α，β分别为两个不同的平面，直线l?α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(　　) A．充分不必要条件               B．必要不充分条件 C．充要条件                     D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为      。 参考答案： 0．6 12. 设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为　_________　． 参考答案： 略 13. 计算： 参考答案： 略 14. 设f ( x ) = x3－x2－2x＋5，当时，f ( x ) < m恒成立，则实数m的取值范围为 . 参考答案： m > 7 15. 已知点P（cosθ，sinθ）在直线y=2x上，则sin2θ+cos2θ=　　． 参考答案： 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】由点P（cosθ，sinθ）在直线y=2x上，将P坐标代入直线方程，利用同角三角函数间的基本关系求出tanθ的值，将所求式子利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanθ的值代入即可求出值． 【解答】解：∵点P（cosθ，sinθ）在直线y=2x上， ∴tanθ=2， ∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ =+=+ ==． 故答案为：． 16. 在△ABC中，若=          . 参考答案： 略 17. 在平面直角坐标系xOy中，设直线：与双曲线：的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是    ▲    . 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知圆：内有一点，过点作直线交圆于A、B两点． (1)                                                        当经过圆心时，求直线的方程； (2)                                                        当弦AB被点P平分时，写出直线的方程； (3) 当直线的倾斜角为45o时，求弦AB的长． 参考答案： （1）已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为，即． （2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，  直线l的方程为， 即 ． （3）当直线l的倾斜角为45o时，斜率为1，直线l的方程为，即， 圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为． 19. 已知首项为，公比不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3、S2、S4成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn=n|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）易知2S2=S3+S4，从而可得2a3+a4=0，从而可得{an}是以为首项，﹣2为公比的等比数列；从而求得； （2）化简bn=n|an|=n?2n﹣2，从而利用错位相减法求其和． 【解答】解：（1）∵S3、S2、S4成等差数列， ∴2S2=S3+S4， ∴2a3+a4=0， ∴=﹣2，又首项为， 故{an}是以为首项，﹣2为公比的等比数列， 故an=?（﹣2）n﹣1=﹣（﹣2）n﹣2； （2）bn=n|an|=n?2n﹣2， Tn=1?+2?1+3?2+…+n?2n﹣2， 2Tn=1?1+2?2+3?4+…+n?2n﹣1， 故Tn=﹣﹣1﹣2﹣4﹣…﹣2n﹣2+n?2n﹣1 =n?2n﹣1﹣=（n﹣1）2n﹣1+． 20. 已知椭圆C：的一个焦点为，其左顶点A在圆O：上. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为（点与点M不重合），且直线与x轴的交于点P，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 参考答案： （1）∵椭圆的左顶点在圆上，∴， 又∵椭圆的一个焦点为，∴，∴， ∴椭圆的方程为. （2）设，，则直线与椭圆方程联立， 化简并整理得， ∴，， 由题设知，∴直线的方程为， 令得 ，∴， （当且仅当即时等号成立） ∴的面积存在最大值，最大值为. 21. 如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB与ND交于P点． （I）在棱AB上找一点Q，使QP∥平面AMD，并给出证明； （Ⅱ）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值． 参考答案： 考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定． 专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：（I）设Q为AB上的一点，满足BQ=AB．由线面平行的性质证出MD∥NB，结合题中数据利用平行线的性质，得到，从而在△MAB中得到QP∥AM．最后利用线面平行判定定理，证出QP∥平面AMD，说明在棱AB上存在满足条件的点； （II）建立如图所示空间直角坐标系，算出向量、和的坐标．利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，算出=（1，﹣2，﹣2）为平面CMN的一个法向量．根据线面垂直的判定定理证出DC⊥平面BNC，从而得到=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量，最后用空间向量的夹角公式加以计算，即可算出平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值． 解答： 解：（I）当AB上的点满足BQ=AB时，满足QP∥平面AMD， ∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB． ∴，且， ∴，在△MAB中，可得QP∥AM． 又∵QP?平面AMD，AM?平面AMD． ∴QP∥平面AMD，即存在棱AB上找一点Q，当BQ=AB时，有QP∥平面AMD； （II）以DA、DC、DM所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系 可得D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），M（0，0，2），N（2，2，1） ∴=（0，﹣2，2），=（2，0，1），=（0，2，0） 设平面CMN的一个法向量为=（x，y，z） ∴，取z=﹣2，得x=1，y=﹣2 由此可得=（1，﹣2，﹣2）为平面CMN的一个法向量 ∵NB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴NB⊥CD 又∵BC⊥CD，BC∩NB=B ∴DC⊥平面BNC，可得=（0，2，0）是平面BNC的一个法向量 ∵cos＜，＞=== ∴平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值等于． 点评：本题在特殊多面体中，探索线面平行并求二面角的余弦值，着重考查了线面平行、垂直的判定与性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题． 22. 已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x=0的圆心重合，且椭圆过点（，1）． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若=2，求△AOB的面积． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），先求出c=，由椭圆过点（，1），得=1，由此能求出椭圆的标准方程． （2）由，得，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆，得（2k2+1）x2+4kx﹣2=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出△AOB的面积． 【解答】解：（1）∵对称中心