湖北省武汉市重点示范中学高二数学文月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “m＜”是“方程x2+x+m=0有实数解”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
2. 已知抛物线，过点的任意一条直线与抛物线交于A，B两点，抛物线外一点，若∠∠，则t的值为( )
A. B. p C. D. －3
参考答案：
D
【分析】
设出点和直线，联立方程得到关于的韦达定理，将转化为斜率相反，将根与系数关系代入得到答案.
【详解】设，设直线AB：又
恒成立
即
答案为D
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题.
3. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：
①； ②； ③； ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为---------------（ ）
A. ① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
参考答案：
C
4. 已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )
参考答案：
D
5. 不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是
A（0，0） B（1，1） C（0，2） D （2，0）
参考答案：
D
6. 已知点是的重心，( , )，若，，则的最小值是 ( ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
7. 函数单调递增区间是（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C． D．（1，+∞）
参考答案：
C
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数y的导函数y′，因为要求单调递增区间，令y′＞0得到不等式求出x的范围即可．
【解答】解：令
故答案为C．
8. 已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（ ）
A．? B．{2} C．{0} D．{﹣2}
参考答案：
B
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．
【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，
∴A∩B={2}．
故选B
9. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 ( )
A B C D
参考答案：
C
10. 如果直线∥，且∥.则与的位置关系是（ ）
A 相交 B ∥ C. D ∥或
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，若，则 ________．
参考答案：
2
12. 阅读下面的程序框图．若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值为 ．
参考答案：
5
考点： 程序框图．
专题： 常规题型．
分析： 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值．
解答： 解：经过第一次循环得到s=2，n=1，
经过第二次循环得到s=5，n=2，
经过第三次循环得到s=10，n=3，
经过第四次循环得到s=19，n=4，
经过第五次循环得到s=36，n=5，
经过第六次循环得到s=69，n=6，
∵输出的结果不大于37
∴n的最大值为4
∴i的最大值为5
故答案为：5
点评： 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律．
13. 已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100= ．
参考答案：
98
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100．
【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，
∴，
解得a1=﹣1，d=1，
∴a100=a1+99d=﹣1+99=98．
故答案为：98．
14. 设为单位向量，且的夹角为，若，，则向量在方向上的投影为___________.
参考答案：
15. 设的展开式中的系数为a，二项式系数为b，则的值为_______.
参考答案：
4
【分析】
列出展开式的通项公式，可知当时，为的项，从而可确定二项式系数和系数，作比得到结果.
【详解】展开式通项公式为：
当，即时，
，
【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项的系数、二项式系数的问题，属于基础题.
16. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为 ．
参考答案：
57π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成，其中下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．据此可计算出答案．
【解答】解：由三视图可知：原几何体是由上下两部分组成：下面是一个底面半径为3，高为5的圆柱；上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为5的圆锥．
圆锥的高h==4．
∴V==57π．
故答案为57π．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．
17. 已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是______
参考答案：
【分析】
由题得在上恒成立，即a≥-3恒成立，即得a的取值范围.
【详解】由题得在上恒成立，
即a≥-3恒成立，
故，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的单调性的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1).
(1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若函数y＝f(x)－t有零点，求t的最小值；
(3)若x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围.
参考答案：
(1)f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a1分
由于0
1，故当x∈(0，＋∞)时，ln a与ax－1同号，所以
f′(x)>0，
故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.3分
(2)当a>0，a≠1时，易知f′(0)＝0，
设g(x)＝2x＋(ax－1)ln ag′(x)＝2＋ax(ln a)2>0
则f′(x)在R上单调递增，
故f′(x)＝0有唯一解x＝05分
且x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
递减
极小值
递增
故fmin(x)＝f(0)＝1，即使函数y＝f(x)－t有零点的t的最小值是1.7分
(3)因为x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，
所以当x∈[－1,1]时，|(f(x))max－(f(x))min|＝(f(x))max－(f(x))min≥e－18分
由(2)知，f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，
所以当x∈[－1,1]时，(f(x))min＝f(0)＝1，(f(x))max＝，
所以当t>1时，g(t)>0；当01时，f(1)>f(－1)；当01时，由f(1)－f(0)≥e－1a－ln a≥e－1a≥e，
19. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
参考答案：
（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）利用长方体的性质，可以知道侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出平面；
（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，求出相应点的坐标，利用，可以求出之间的关系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角的正弦值.
【详解】证明（1）因为是长方体，所以侧面，而平面，所以
又，，平面，因此平面；
（2）以点坐标原点，以分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为，所以，
所以，，
设是平面的法向量，
所以，
设是平面的法向量，
所以，
二面角的余弦值的绝对值为，
所以二面角的正弦值为.
【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.
20. 如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点.
(1) 求证：；
(2) 在任意中有余弦定理：.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明
参考答案：
(1) 证：
；（4分）
(2) 解：在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角. 上述的二面角为,在中，
，
由于，
∴有（12分）
21. （本小题满分12分）
已知函数
(Ⅰ)判断的奇偶性；
(Ⅱ)判断在上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）求在区间上的最小值．
参考答案：
（Ⅰ）
是奇函数 …………………………2分
（Ⅱ）在内是增函数 .
证明：设 且
则=
即
故在内是增函数 .…………………………8分
（3）由（1）知 是奇函数，由（2）知在内是增函数.
在上是增函数
当时，有最小值为……………………………12分
略
22. （本题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.
参考答案：
(Ⅰ)∵为，的等差中项， ， 2分
∵,∴A＝. 4分
(Ⅱ)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4. 6分
而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8. 8分
解得b＝c＝2. 12分
