湖北省武汉市钢花中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析

湖北省武汉市钢花中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数存在极值，则实数a的取值范围为（    ） A. (0,+∞) B. [0,+∞) C.(－∞,0) D. (－∞,0] 参考答案： A 【分析】 求出函数的导函数，根据导函数的零点情况分析原函数的单调性即可得到取值范围. 【详解】函数存在极值，， 当时，＜0恒成立，单调递减，没有极值点； 当时，＜0得，＞0得， 函数在单调递增，在单调递减，x=是函数的极大值点. 所以 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，此类问题还需注意函数有极值点与导函数有零点并不等价. 2. 右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则在这几场比赛得分中甲的中位数与乙的众数之和是     A．50          B．41            C．51           D．61．5 参考答案： C 3. 等比数列中，S2=7，S6=91，则S4=（   ） A  28 B 32 C 35 D 49 参考答案： A 略 4. 函数的定义域是（   ）   A.         B.        C.      D. 参考答案： B 5. 复数(i为虚数单位)等于（） A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i 参考答案： B 【分析】 由复数的乘法运算法则求解. 【详解】故选． 【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题. 6. 在极坐标系下，已知圆C的方程为r=2cosθ，则下列各点中，在圆C上的是(　　) A．(1，-)                B．(1，)                 C．(，)           D．(，) 参考答案： A 略 7. 一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为(　　) 参考答案： D 略 8. 的展开式中，常数项为(    ) A. －15 B. 16 C. 15 D. －16 参考答案： B 【分析】 把按照二项式定理展开，可得的展开式中的常数项． 【详解】∵（）?（1），故它的展开式中的常数项是1+15=16 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题． 9. 椭圆的离心率等于（    ）ks5u A．           B．                C．             D．2 参考答案： C 略 10. 如果执行右边的程序框图，那么输出的S=（　　） A．10 B．22 C．46 D．94 参考答案： C 【考点】循环结构． 【分析】本题是一个直到型循环结构，循环体被执行4次，每次执行时都是对S加一再乘以2，由此即可计算出最后的结果 【解答】解：由图循环体被执行四次，其运算规律是对S+1的和乘以2再记到S中， 每次执行后的结果依次是4，10，22，46 故选C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 圆上的点到直线的最大距离是_________。 参考答案： 12. 已知，则_________. 参考答案： 5 【分析】 求导可得，令，则，即可求出，代入数据，即可求的值。 【详解】， 令，得，则， 故，． 【点睛】本题考查基本初等函数的求导法则，属基础题。 13. P为曲线C1：y=ex上一点，Q为曲线C2：y=lnx上一点，则|PQ|的最小值为　　． 参考答案： 【分析】考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离． 【解答】解：∵曲线y=ex与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称， 故可先求点P到直线y=x的最近距离d， 设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b， ∵y′=ex，由ex=1，得x=0， 故切点坐标为（0，1），即b=1， ∴d==， ∴丨PQ丨的最小值为2d=2×=． 故答案为：． 　 14. 平面向量为非零向量且与夹角为120°则的取值范围是　　． 参考答案： （0，] 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由题意可知给出的两个向量，不共线，则三个向量构成三角形，在三角形中运用余弦定理得到关系式所以， 由有解，利用判别式大于等于0可求|的范围． 【解答】解：由题意可知向量不共线，则， 所以，由，且平面向量为非零向量得：． 故答案为（0，]． 【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了转化思想，解答此题的关键是把给出的数学问题转化为方程有解，是中档题． 15. 若直线与曲线  （为参数）没有公共点，则实数的取值范围是____________． 参考答案： 或 曲线的普通方程是，圆心到直线 的距离，令，得或． 16. 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ……                照此规律，第个等式为          。 参考答案： 略 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是　　． 参考答案： （﹣5，5） 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】由条件求出圆心，求出半径，由数形结合，只需圆心到直线的距离圆心到直线的距离小于半径和1的差即可． 【解答】解：圆x2+y2=4的圆心为O，半径等于2，圆心到直线的距离d=， 要使圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线4x﹣3y+c=0的距离为1，应有＜2﹣1， 即﹣5＜c＜5， 故答案为（﹣5，5）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知点P（x，y）为曲线+=1（y≥0）上的任意一点，求x+2y﹣12的取值范围． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由椭圆的参数方程为，可设，t=x+2y﹣12，运用两角和的正弦公式，结合y≥0，可得θ∈[0，π]，运用正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围． 【解答】解：由椭圆+=1， 可得椭圆的参数方程为， 可设，t=x+2y﹣12， 则， 由y≥0，可得θ∈[0，π]， 即有，则， 可得t∈[﹣8，﹣4]， 故x+2y﹣12的取值范围[﹣20，﹣4]． 19. 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，焦距为，点(2,1)在该椭圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）直线与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线两侧的动点．当点A，B运动时，满足，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由． 参考答案： （1）；（2） 【分析】 （1）由题可得， 所以 ，则椭圆的方程为 （2）将代入椭圆方程可得，解得 ，则 ，由题可知直线与直线的斜率互为相反数，写出直线的方程与椭圆方程联立整理可得。 【详解】（1）因为椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上， 所以设椭圆方程为 因为焦距为， 所以 ，焦点坐标 ， 又因为点在该椭圆上，代入椭圆方程得 所以 ，即 解得 所以 则椭圆的方程为. （2）将代入椭圆方程可得，解得 则 当点运动时，满足，则直线与直线的斜率互为相反数， 不妨设，则， 所以直线的方程为， 联立 ，解得 因为是该方程的两根， 所以，即， 同理直线的方程为且 所以 所以 ， 即直线斜率为定值。 【点睛】直线与椭圆的位置关系是近几年的高考重要考点，求椭圆的标准方程时要注意焦点的位置，本题解题的关键是先求出椭圆的标准方程，且由可知直线与直线的斜率互为相反数，属于偏难题目。 20. （本小题14分）对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且 （1）求函数的解析式； （2）已知各项不为零的数列，求数列通项； （3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立. 参考答案： 由 得 不止有两个不动点，            5分 （2）由题设得     （*） 且          （**） 由（*）与（**）两式相减得：     这与假设矛盾，故假设不成立，.                             14分 21. 已知数列｛｝的通项公式，它的前n项和为，求的表达式 参考答案： 解：∵　 ∴　 ∴　 ①—②得： 　　　　　　　＝６＋ 　　　　　　　＝－２＋ 　　　　　　　＝－２－（4n－２） ∴　＝２＋（4n－２） 略 22. 已知的图象过原点,且在点处的切线与轴平行.对任意,都有.   (1)求函数在点处切线的斜率;   (2)求的解析式;   (3)设,对任意,都有.求实数的取值范围。 参考答案： 略