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湖北省荆门市英语信息学校高一数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 若变量x,y满足约束条件,则z=2x+3y的最小值为( )
A.17 B.14 C.5 D.3
参考答案:
C
【考点】简单线性规划.
【专题】数形结合;不等式的解法及应用.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(1,1),
化目标函数z=2x+3y为,由图可知,当直线过A时,z有最小值为2×1+3×1=5.
故选:C.
【点评】本题考查了线性规划,考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法,是中档题.
3. 已知实数满足,则的最大值为( )
A. 8 B. 2 C. 4 D. 6
参考答案:
D
【分析】
设点,根据条件知点均在单位圆上,由向量数量积或斜率知识,可发现,对目标式子进行变形,发现其几何意义为两点到直线距离之和有关.
【详解】设,,
均在圆上,且,设的中点为,则点到原点的距离为,
点在圆上,设到直线的距离分别为,
,
,.
【点睛】利用数形结合思想,发现代数式的几何意义,即构造系数,才能看出目标式子的几何意义为两点到直线距离之和的倍.
4. 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D—ABC的体积为
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. 在函数、、、
中,最小正周期为的函数的个数为( )
A.个 B.个 C.个 D.个
参考答案:
C
略
6. 如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,是的中点,P点在侧面△SCD内及其边界 上运动,并且总是保持.则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有 是图中的 ( )
参考答案:
A
略
7. 对于右图的几何图形,下列表示错误的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 圆x2+y2=1和圆x2+y2﹣6y+5=0的位置关系是( )
A.外切 B.内切 C.外离 D.内含
参考答案:
A
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【分析】根据题意先求出两圆的圆心和半径,根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和,得出两圆相外切.
【解答】解:圆x2+y2﹣6y+5=0 的标准方程为:x2+(y﹣3)2=4,
所以其表示以(0,3)为圆心,以2为半径的圆,
所以两圆的圆心距为3,正好等于两圆的半径之和,
所以两圆相外切,
故选A.
9. 已知扇形的周长为,面积为,则扇形的圆心角的弧度数为 ( )
A.1 B. 4 C. 1或 4 D. 2或4
参考答案:
C
略
10. 设x0是函数f(x)=lnx+x﹣4的零点,则x0所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若幂函数f(x)的图象经过点,则f(x)= .
参考答案:
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】设幂函数f(x)=xα(α为常数),可得,解出即可.
【解答】解:设幂函数f(x)=xα(α为常数),
∵,
解得α=﹣.
∴f(x)=.
故答案为:.
【点评】本题考查了幂函数的定义,属于基础题.
12. 如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称,那么a+b= .
参考答案:
【考点】IQ:与直线关于点、直线对称的直线方程.
【分析】由直线y=ax+2,解得(a≠0)x=,把x与y互换可得:y=.根据直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称,可得3=,﹣ =﹣b,解得a,b.
【解答】解:由直线y=ax+2,解得(a≠0)x=,把x与y互换可得:y=.
∵直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称,
∴3=,﹣=﹣b,解得a=,b=6.
∴a+b=.
故答案为:.
13. 若为等比数列的前项的和,,则= .
参考答案:
略
14. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω,0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(π)的值为 .
参考答案:
3
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【专题】转化思想;数形结合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由函数的最值求出A、B,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,可得f(x)的解析式,从而求得f(π)的值.
【解答】解:由函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω,0,|φ|<)的部分图象,
可得A+B=4,﹣A+B=0, =﹣,
求得B=2,A=2,ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ)+2.
再根据图象过点(,2),可得 sin(2+φ)=0,∴φ=,
f(x)=2sin(2x+)+2,∴f(π)=2sin(2π+)+2=3,
故答案为:3.
【点评】本题主要考查利用y=Asin(ωx+φ)的图象特征,由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的最值求出A、B,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,属于基础题.
15. 某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2018年经营总收入要达到169万元,且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同,则2017年预计经营总收入为 万元.
参考答案:
130
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】增长率问题的一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量,b为终止时间的有关数量.本题中a就是2016年的经营收入,b就是2018年的经营收入,从而可求出增长率的值,进而可求2017年预计经营总收入.
【解答】解:2016年的经营总收入为400÷40%=1000(万元).
设年增长率为x(x>0),依题意得,1000(1+x)2=169,
解得:x1=0.3,x2=﹣2.3,
∵x>0
∴x2=﹣2.3不合题意,
∴只取x1=0.3.
1000(1+x)=1000×1.3=130(万元).
即2017年预计经营总收入为130万元.
故答案为:130.
16. 过点,且在两轴上的截距相等的直线方程为____.
参考答案:
或
试题分析:设直线方程为,令得,令得,或,直线方程为或
考点:直线方程
点评:已知直线过的点,常设出直线点斜式,求出两轴上的截距由截距相等可求得斜率,进而求得方程
截距相等的直线包括过原点的直线
17. 若x>1,求的最小值是________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=ln(1+x).
(1)若函数g(x)=f(e4x)+ax,且g(x)是偶函数,求a的值;
(2)若h(x)=f(x)[f (x)+2m﹣1]在区间[e﹣1,e3﹣1]上有最小值﹣4,求m的值.
参考答案:
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)先求出g(x)=ln(1+e4x)+ax,由g(x)为偶函数,便可得到ln(1+e﹣4)﹣a=ln(1+e4)+a,这样便可求出a的值;
(2)可设f(x)=t,可得到t∈[1,3],设y=h(x),从而有,可讨论和区间[1,3]的关系:分和三种情况,在每种情况里,根据y的最小值为﹣4便可建立关于m的方程,解方程即得m的值.
【解答】解:(1)g(x)=f(e4x)+ax=ln(1+e4x)+ax,g(x)为偶函数;
∴g(﹣1)=g(1);
即ln(1+e﹣4)﹣a=ln(1+e4)+a;
∴ln(1+e4)﹣lne4﹣a=ln(1+e4)+a;
∴﹣4﹣a=a;
∴a=﹣2;
(2)令f(x)=t,x∈[e﹣1,e3﹣1],∴t∈[1,3];
设y=h(x),则y=;
①若,即时,当t=1时,ymin=2m=﹣4;
∴m=﹣2与不符;
②若,即时,当时,;
解得m=,或(舍去);
③若,即时,当t=3时,
ymin=6m+6=﹣4;
∴,与不符;
综上得,m的值为.
【点评】考查已知f(x)求f[g(x)]的方法,偶函数的定义,换元法的应用,配方求二次函数最值的方法,根据二次函数的单调性求二次函数在闭区间上的最值.
19. 已知,
(1)求值:;
(2)求值:.
参考答案:
(1)3(2)
【分析】
Ⅰ. 利用弦化切,即可得出结论.
Ⅱ了由诱导公式化简,根据已知可得结论
【详解】Ⅰ.
Ⅱ.
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用,属基础题.
20. 已知向量,满足,,且.
(1)求;
(2)在△ABC中,若,,求.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)将展开得到答案.
(2),平方计算得到答案.
【详解】解:(1)因为
所以,,
所以,,
又夹角在上,∴;
(2)因为,
所以,,
所以,边的长度为.
【点睛】本题考查了向量的夹角,向量的加减计算,意在考查学生的计算能力.
21. 已知函数f(x)=(a>0).
(1)证明函数f(x)在(0,2]上是减函数,(2,+∞)上是增函数;
(2)若方程f(x)=0有且只有一个实数根,判断函数g(x)=f(x)﹣4的奇偶性;
(3)在(2)的条件下探求方程f(x)=m(m≥8)的根的个数.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】(1)利用导数的正负,即可证明;
(2)求出g(x)=x+,又g(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,利用奇函数的定义进行判断;
(3)由(2)知f(x)=m可化为x+=m﹣4(m≥8),再分类讨论,即可得出结论.
【解答】证明:(1)由题意:f(x)=x++a,
∴f′(x)=,
∴0<x<2时,f′(x)<0,x>2时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在(0,2]上是减函数,(2,+∞)上是增函数 …
解:(2)由题意知方程x2+ax+4=0有且只有一个实数根
∴△=a2﹣16=0,
又a>0,∴a=4.…
此时f(x)=x++4,g(x)=x+,
又g(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,…
且g(﹣x)=﹣x﹣=﹣g(x),…
∴g(x)是奇函数 …
(3)由(2)知f(x)=m可化为x+=m﹣4(m≥8)…
又由(1)(2)知:
当m﹣4=4 即m=8时f(x)=m只有一解 …
当m﹣4>4即m>8时f(x)=m有两解 …
综上,当m=8时f(x)=m只有一解;当m>8时f(x)=m有两解; …
22. 已知集合,
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若集合且,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ),……………2分
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