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湖北省荆门市沙洋县综合实验高级中学2023年高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若的二项展开式中x3的系数为,则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
2. 在中,若且,则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
参考答案:
D
略
3. 已知函数是定义在R上的可导函数,其导函数记为,若对于任意实数,有,且为奇函数,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则=( )
A.-5 B.5 C. -4+i D.-4-i
参考答案:
A
5. 设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m≤2时,f(x)=x3-mx2+x在(﹣1,2)上是“凸函数”.则f(x)在(﹣1,2)上( )
A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值
C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值
参考答案:
C
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】根据函数恒成立,得出m的值,利用函数单调性 得出结果.
【解答】解:因,f″(x)=x﹣m<0对于x∈(﹣1,2)恒成立.
∴m>(x)max=2,又当m=2时也成立,有m≥2.而m≤2,∴m=2.
于是,由f′(x)=0x=或x=2+(舍去),
f(x)(﹣1,2﹣)上递增,在(2﹣,2)上递减,
只有C正确.
故选C
【点评】本题主要考查导数和函数知识及利用导数判断函数单调性,属于基础知识,基本运算的考查.
6. 将点M的极坐标化成直角坐标是( )
A. B. C. (5,5) D. (-5, -5)
参考答案:
A
本题考查极坐标与直角坐标的互化
由点M的极坐标,知
极坐标与直角坐标的关系为,所以的直角坐标为
即
故正确答案为A
7. 不等式x(x+2)≥0的解集为( )
A.{x|x≥0或x≤﹣2} B.{x|﹣2≤x≤0} C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0或x≥2}
参考答案:
A
【考点】一元二次不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】解方程x(x+2)=0,得x1=0,x2=﹣2,由此能求出不等式的解集.
【解答】解:解方程x(x+2)=0,得x1=0,x2=﹣2,
所以不等式x(x+2)≥0的解集为{x|x≥0或x≤﹣2};
故选:A.
【点评】本题考查一元二次不等式的解法、韦达定理,考查方程思想,属基础题.
8. 已知集合M=( )
A、 B、
C、 D、
参考答案:
A
9. 按图所示的程序框图,若输入a=110011,则输出的b=( )
A.45 B.47 C.49 D.51
参考答案:
D
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:第一次执行循环体后,t=1,b=1,i=2,不满足退出循环的条件,
第二次执行循环体后,t=1,b=3,i=3,不满足退出循环的条件,
第三次执行循环体后,t=0,b=3,i=4,不满足退出循环的条件,
第四次执行循环体后,t=0,b=3,i=5,不满足退出循环的条件,
第五次执行循环体后,t=1,b=19,i=6,不满足退出循环的条件,
第六次执行循环体后,t=1,b=51,i=7,满足退出循环的条件,
故输出b值为51,
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答,属于基础题.
10. 我们把由半椭圆与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”(其中).设点是相应椭圆的焦点,A1、A2和B1、B2是“果圆”与x,y轴的交点,若△F0F1F2是边长为1的等边三角,则a,b的值分别为( )A. B. C.5,3 D.5,4
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在的最大值为3,最小值为2,则实数的取值范围是
参考答案:
12. 经过点,的双曲线方程是___________________.
参考答案:
略
13. 若f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是____________________.
参考答案:
f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2
14. 在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 、 .
参考答案:
9.5 、 0.016
【考点】BC:极差、方差与标准差;BE:用样本的数字特征估计总体的数字特征;BF:随机抽样和样本估计总体的实际应用.
【分析】根据已知中七位评委为歌手打出的分数,去掉一个最高分和一个最低分后,先计算出其平均数,代入方差计算公式,即可得到答案.
【解答】解:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据为9.4,9.4,9.6,9.4,9.7,
其平均值为(9.4+9.4+9.6+9.4+9.7)=9.5,
方差为 =0.016,
故答案为:9.5;0.016.
15. 已知函数对于任意的,有如下条件:
①②;③④.其中能使恒成立的条件序号是_______.
参考答案:
①④
略
16. 已知,m,n是三条不同的直线, 是三个不同的平面,下列命题:
①若∥m,n⊥m,则n⊥; ②若∥m,mα,则∥α;
③若α,mβ,α∥β,则∥m; ④若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=,则⊥γ。
其中真命题是___ __..(写出所有真命题的序号).
参考答案:
①④
17. 若某几何体的三视图如右,该几何体的体积为,则俯视图中的
参考答案:
2
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,点在椭圆上,且·=0,⊙O是以F1F2为直径的圆,直线与⊙O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当·=,求k的值.
参考答案:
(1)依题意,可知PF1⊥F1F2,∴c=1,
依题意得
解得
∴椭圆的方程为 ...............4分
(2)直线l:y=kx+m与⊙O:相切,
则 ...............5分
由 得 ...............7分
∵直线与椭圆交于不同的两点A,B.
设
∴
∴,.....10分
,
解得 .............12分
19. 已知 ,分别用“For”语句和“While”语句描述计算S这一问题的算法过程。
参考答案:
20. 已知函数.
(Ⅰ)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(Ⅱ)当x>0时,恒成立,求整数k的最大值;
(Ⅲ)试证明:(1+1?2)?(1+2?3)?(1+3?4)?…?(1+n(n+1))>e2n﹣3.
参考答案:
【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6K:导数在最大值、最小值问题中的应用;R6:不等式的证明.
【分析】(Ⅰ)求导函数,确定导数的符号,即可得到结论;
(Ⅱ)当x>0时,恒成立,即在(0,+∞)上恒成立,构造函数,求出函数的最小值,即可求整数k的最大值;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:,从而令,即可证得结论.
【解答】(Ⅰ)解:由题,…
故f(x)在区间(0,+∞)上是减函数;…
(Ⅱ)解:当x>0时,恒成立,即在(0,+∞)上恒成立,
取,则,…
再取g(x)=x﹣1﹣ln(x+1),则,
故g(x)在(0,+∞)上单调递增,
而g(1)=﹣ln2<0,g(2)=1﹣ln3<0,g(3)=2﹣2ln2>0,…
故g(x)=0在(0,+∞)上存在唯一实数根a∈(2,3),a﹣1﹣ln(a+1)=0,
故x∈(0,a)时,g(x)<0;x∈(a,+∞)时,g(x)>0,
故,故kmax=3…
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知:,∴
令,…
又ln[(1+1?2)?(1+2?3)?(1+3?4)?…?(1+n(n+1))]=ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln(1+n×(n+1))=
即:(1+1?2)?(1+2?3)?(1+3?4)?…?[1+n(n+1)]>e2n﹣3…
21. (12分)如图,四棱锥P-ABCD底面是矩形,PA⊥平面ABCD,,,E是PD的中点.
(1)求证:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求点B到平面EAC的距离.
参考答案:
解:(1)因为平面
所以 ? ……2分
在矩形中,? ……3分
又
所以 ……4分
而面
所以 平面平面 ……6分
(2)取中点,连结、
在中,
而平面
所以平面
所以……8分
在中,,,
则,所以
所以
设点到平面的距离为
所以 ……10分
由
得. ……12分
22. (14分)在中,角的对边分别为,且.
(1)若,求;
(2)若的面积,求的值
参考答案:
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