湖北省荆门市毛李中学2022-2023学年高一数学理联考试卷含解析

湖北省荆门市毛李中学2022-2023学年高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若关于x方程的一个实根小于-1，另一个实根大于1，则实数m的取值范围是（    ） A. B. (－2,0) C. (－2,1) D. (0,1) 参考答案： D 试题分析：令,由题设,即,解之得,故应选D. 考点：二次函数的图象和性质的运用. 2. 已知函数，若存在实数，使函数有两个零点， 则的取值范围是（   ） A．          B．且       C．        D．且 参考答案： D 由函数的图像知， 当时，存在实数，使与有两个交点； 当时，为单调增函数，不存在实数，使函数有两个零点； 当时，存在实数，使与有两个交点； 所以且，故选D. 3. 右表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a等于（　　） 月  份x 1 2 3 4 用水量y 5.5 5 4 3.5   　 A． 11.5 B． 6.15 C． 6.2 D． 6.25 参考答案： D 略 4.   某产品计划每年降低成本P%，若3年后的成本费为a元，则现在的成本费为（   ）元 A．     B．      C．       D． 参考答案： C 5. 已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（） A. 5 B. C. 3 D. 参考答案： D 分析】 化简函数f（x）＝acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对 称，就是时，函数取得最值，求出a即可． 【详解】函数f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，， 其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a， 故答案为：D 6. 已知数列{an}，a1=1，an+1=an﹣n，计算数列{an}的第20项．现已给出该问题算法的程序框图（如图所示）．为使之能完成上述的算法功能，则在如图判断框中（A）处和（B）处依次应填上合适的语句是（　　） A．n≤20，S=S﹣n B．n≤20，S=S+n C．n≤19，S=S﹣n D．n≤19，S=S+n 参考答案： D 【考点】程序框图． 【分析】由已知可得程序的功能是：计算满足条件a1=1，an+1=an﹣n的数列的第20项，由于S的初值为1，故循环需要执行19次，又因为循环变量的初值为1，故循环变量的值为小于20（最大为19）时，循环继续执行，当循环变量的值大于等于20时，结束循环，输出值S．据此可得（A），（B）处满足条件的语句． 【解答】解：由已知可得程序的功能是： 计算满足条件a1=1，an+1=an﹣n的数列的第20项， 由于S的初值为1，故循环需要执行19次， 又因为循环变量的初值为1， 故循环变量的值为小于20（最大为19）时，循环继续执行， 当循环变量的值大于等于20时，结束循环，输出累加值S． 故该语句应为：A：n＜=19或n＜20；B：s=s+n． 故选：D． 7. （本小题满分10分）    已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数. （1）试写出满足上述条件的一个函数； （2）若，求的取值范围. 参考答案： （1）略 （2）是偶函数， 在区间上是单调增函数 或 或 略 8. 设集合，，若存在实数t，使得，则实数a的取值范围是（    ） A. (0,1] B. C. D.[0,2] 参考答案： C 【分析】 得到圆心距与半径和差关系得到答案. 详解】圆心距 存在实数t，使得 故答案选C 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，意在考查学生的计算能力. 9. 设，，，则a、b、c的大小关系是（  ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B ，，， 故选：B   10. 函数在区间上的最大值是（   ） A.               B.                C.           D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若方程的一根在区间上，另一根在区间上，则实数的范围        . 参考答案： 12. 设，，，，，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是_______． 参考答案： 【分析】 根据三点共线求得的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值. 【详解】依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值 【点睛】本小题主要考查三点共线向量表示，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题. 13. 若k，﹣1，b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点　　． 参考答案： （1，﹣2） 【考点】等差数列的性质；恒过定点的直线． 【分析】由条件可得 k+b=﹣2，即﹣2=k×1+b，故直线y=kx+b必经过定点（1，﹣2）． 【解答】解：若k，﹣1，b三个数成等差数列，则有 k+b=﹣2，即﹣2=k×1+b，故直线y=kx+b必经过定点（1，﹣2）， 故答案为 （1，﹣2）． 14. 已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题: ①若,则   ②若,则 ③若,则 ④若， ，则 其中正确的命题是    ▲    ．(填上所有正确命题的序号) 参考答案： ① ①根据线面垂直的性质可知若m⊥α，m⊥β，则α∥β成立； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故②不成立； ③根据面面平行的可知，当m与n相交时，α∥β，若两直线不相交时，结论不成立； ④若， ，则或，故④不成立． 故正确的是①.   15. 函数 的定义域为_______________________________ 参考答案： 略 16. 已知⊥，||=2，||=3，且3+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为　　． 参考答案： 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】两个向量垂直的充要条件为两向量的数量积为零． 【解答】解：因为与垂直 ∴（）?（）=0即3=0 ∴12λ﹣18=0 ∴λ= 故答案为 17. 函数的单调递增区间是　　． 参考答案： [2，+∞） 【考点】函数的单调性及单调区间． 【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用． 【分析】可求导数，根据导数符号即可判断f（x）在定义域上为增函数，从而便可得出f（x）的单调递增区间． 【解答】解：； ∴f（x）在定义域[2，+∞）上单调递增； 即f（x）的单调递增区间是[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）． 【点评】考查根据导数符号判断函数单调性以及求函数单调区间的方法，清楚增函数的定义，注意正确求导． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分14分)设函数是增函数，对于任意 都有 （1）求；  （2）证明是奇函数； （3）解不等式. 参考答案： 19. （10分）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2﹣x）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）画出函数f（x）的图象（不需列表）； （3）讨论方程f（x）﹣k=0的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程） 参考答案： 考点： 函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）利用函数f（x）是偶函数，及当x≥0时，f（x）=x（2﹣x），可以设x≤0，可得﹣x≥0，代入解析式化简后，由偶函数的性质即可求解； （2）利用函数的解析式、二次函数的图象，画出函数的图象，并描出重要的点； （3）方程f（x）=k的根的情况，利用数形结合的方法进行讨论． 解答： （1）设x≤0，则﹣x≥0， ∵当x≥0时，f（x）=x（2﹣x）， ∴f（﹣x）=﹣x（x+2）；…1分 由f（x）是定义域为R的偶函数知：f（﹣x）=f（x），…2分 ∴f（x）=﹣x（x+2），（x∈（﹣∞，0]）；…3分 所以函数f（x）的解析式是．…4分 （2）函数f（x）的图象如图所示：…8分 （说明：图形形状正确，给2分；两点（﹣1，1），（1，1）少标示一个扣1分，共2分） （3）由f（x）﹣k=0得：k=f（x）， 根据函数f（x）的图象知：当k＜0或k=1时，方程f（x）﹣k=0有两个根，…9分 当k=0时，方程f（x）﹣k=0有三个根，…10分 当0＜k＜1时，方程f（x）﹣k=0有四个根．…11分 当k＞1时，方程f（x）﹣k=0没有实数根．…12分． 点评： 本题主要考查偶函数的性质及其解析式的求法，二次函数的图象，利用数形结合的方法求方程解的个数，考查了数形结合思想． 20. C位于A城的南偏西20°的位置，B位于A城的南偏东40°的位置，有一人距C为31千米的B处正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？ 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】设∠ACD=α，∠CDB=β，在三角形BCD中，利用余弦定理求出cosβ的值，进而求出sinβ的值，由α=β﹣60°，求出sinα的值，在三角形ACD中，利用正弦定理即可求出AD的长． 【解答】解　设∠ACD=α，∠CDB=β， 在△BCD中，由余弦定理得cosβ===﹣， ∴sinβ==， ∴sinα=sin（β﹣60°）=sinβcos60°﹣cosβsin60°=×+×=， 在△ACD中，由正弦定理得=， ∴AD===15（千米）， 答：这人还要走15千米才能到达A城． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键． 21. 已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有成立． （1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明它； （2）解不等式f（x2）＜f（2x）； （3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[﹣1，1]任取x1、x2，且x1＜x2，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）是[﹣1，1]上的增函数； （2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]递增，不等式即为﹣1≤x2＜2x≤1，解不等式即可得到所求范围； （3）根据函数f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）是[﹣1，1]上的增函数． 理由：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2） ∵＞0， 即＞0， ∵x1﹣x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0． 则f（x）是[﹣1，1]上的增函数． （2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]递增， 可得不等式f（x2）＜f（2x），即为 即 解得0＜x≤，则解集为（0，]； （3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有